固定されていない三角台に乗り上げる小物体

なめらかな水平面上に、質量Mのなめらかな斜面を持つ三角台を置き、この三角台に向けて質量ｍの小物体を速さVoで水平面から滑らせた。小物体は三角台の斜面をすべりあがり、最高点に達した後、斜面を滑り降り、再び水平面に達した小物体が再び水平面に達したときの三角台の水平面に対する速度はいくらか。ただし、はじめの小物体の速度の向きを正とする。
運動量保存を利用して導け


というものです。

自分は
mVo=MV-mv という式を立てたのですが、これがどうもちがうらしく

正解は
mVo=MV+mv

となるそうです。

再び斜面を滑り降りた後の二つの物体はまったくの逆方向にすすむのに
なぜ正解のようなしきになるのでしょうか？

mvは最初の向きと逆になっているから－として扱わないのですか？

だれか
教えてください。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/12 12:45

＞再び斜面を滑り降りた後の二つの物体はまったくの逆方向にすすむのに

なぜこういう風に言うことが出来るのでしょう。
ｍとＭの大きさの関係によって逆に進むのも同じ方向に進むのもあるとは思いませんか。

極端な場合を考えればいいです。
・ｍ＜Ｍで極端な場合、
Ｍがｍよりも十分大きければ小物体が斜面を上がったとしても斜面はほとんど動きません。小物体は斜面を上がって元に戻ってくるだけです。

・ｍ＞Ｍで極端な場合
小物体は斜面に少し上がるでしょうが押しとばすようになるでしょう。
小物体の速度は少し小さくなりますが初めの方向に運動しているでしょう。

一般の場合はこの２つの間にあるはずです。小物体の運動は初めと同じ方向になる場合も逆向きになる場合もあります。ｍ、Ｍの大きさによってどちらもあるのですから一般的にはＶｏを基準にして衝突後の速度を表しておけばいい事になります。得られた速度はＶｏで表されるはずです。同じ向きか逆向きかは得られた表現についている符号で分かります。

おまけ
斜面を上がって降りてくるまでの間の運動を問題にはしていないですね。この間を考えるのは結構ややこしいです。でもこの問題ではこの間の時間は衝突時間なのです。２つの物体の間で力が働きあって運動量を交換している時間です。２つの物体の接触がなくなった段階で衝突後になります。衝突前、衝突後について運動量保存則を使うことが出来ます。（途中が長いですが考える必要はありません。）

物体と斜面との間、斜面と水平面との間で摩擦を考えなくていいのであればエネルギー保存が成り立ちます。反発係数＝１として解いてもかまいません。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/01/12 03:28

こんばんは。

本題に入る前に、
重力のない空間で静止している１つの物体が、内部の仕掛け（たとえば爆薬）によって、突然２つに分裂したとしましょう。
このときの運動量保存則を考えます。
２つの物体の質量と速度を、それぞれ、
ｍ、ｖ
Ｍ、Ｖ
と置きます。

すると、
分裂前の運動量の合計はゼロなので、
ｍｖ　＋　ＭＶ　＝　０
ｍｖ　＝　－ＭＶ
となります。

速度の絶対値（「速さ」）で書けば、
ｍ|ｖ|　＝　Ｍ|Ｖ|
です。

つまり、互いに正反対の方向に、速さ|ｖ|と速さ|Ｖ|で進行するということです。


もう、おわかりでしょう。
mVo=MV-mv
ではなく、
ｍＶo　＝　ＭＶ　＋　ｍｖ
です。

つまり、

１．
向きを持った速度について、運動量の合計を式で表すときは、全部、文字同士の足し算にすべきであって、引き算ではダメです。

２．
「はじめの小物体の速度の向きを正とする。」という情報は、とりあえず、式を立てるに当たっては不必要です。


そして、
「はじめの小物体の速度の向きを正とする。」
の意味することは何かと言えば、
ｍＶo　＝　ＭＶ　＋　ｍｖ
において、

結果としてＶの値が正ならば、Ｍの進行方向はＶo （正の値）と同じ向き。
負ならばＶo （正の値）とは逆の向き。

結果としてｖの値が正ならば、ｍの進行方向はＶo （正の値）と同じ向き。負ならばＶo （正の値）とは逆の向き。

ということだけなのです。


以上、ご参考になりましたら。

No.1 回答者： LOHA 回答日時： 2009/01/12 02:01

＞ただし、はじめの小物体の速度の向きを正とする。

がポイントですね。
これは小物体を右向きに投げたとすると、vの値が正なら右向き、負なら左向きを表しているということですね。
ということは、このvの値は物体の動く速さだけでなく、方向を含んでいるのです(「速度＝速さ(大きさ)＋向き＝ベクトル」です)。
そのため、わざわざ逆の方向に進むから符号を逆にして、というようなことはする必要がないのです。

たとえば今回の問題の場合、「逆方向に進むから符号を負にした」のだと思いますが、そうではなく「逆方向の時はvの値が負になるからmvは負になるので、別に符号を変える必要はない」というわけです。

「速度(ベクトル量)」と「速さ(スカラー量)」の区別は非常に重要ですので、じっくりと勉強しておくと後々楽だと思います。

以上です…が説明が下手ですいません。少しでも参考になったら幸いです。