量子力学(角運動量の固有状態について)の問題

Question

こんにちわ。
量子力学の問題で分からなかったところがあるので質問させてください。
最初に問題を載せておきます。

問題
今考えているp状態の固有関数が，
ψ=f(r)cosθ=f'(r)rcosθ=f'(r)z
と表せるとすると，この関数がLzの固有状態にはなっているが，Lx及びLyの固有状態にはなっていないことを示せ。但し，Lx,Ly,Lzは以下のようにあらわせるとする。
Lx=yp_z-zp_y=-ih(y*d/dz-z*d/dy)
Lx=zp_x-xp_z=-ih(z*d/dx-x*d/dz)
Lz=xp_y-yp_x=-ih(x*d/dy-y*d/dx)
※p_x,p_y,p_xは運動量pのx,y,z成分，微分(d/dxなど)は本当は偏微分です。見づらくてすみません

という問題です。
固有状態になっていることを示すのだから，Lzにψ=f'(r)zを代入して求めればよさそうに思ったのですが，固有関数の具体的な関数が分かっていないし，どうしていいのかわかりません。ちなみに球座標に変換しなくても解けるみたいなことを言われました。
考え方だけでも教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

e_o_m · Accepted Answer

物理をやっていない人が少しだけ囓るには少々きついですよね。。


＞ψがL_zの固有関数だということを示すということは
L_zψ=(固有値)ψ
となって，
L_x，L_yについてはそうはならないということだと思っていたんですが，この方針で合ってますか?

＞L_zψを計算していくと(計算ミスをしていなければ)0になっちゃったんですが
その場合
L_zψ=0ψ
と考えて(固有値は0だったということで)良いんでしょうか? 
  
その通りです。

ただ、L_z ψ=0　の途中計算が間違っているかもしれないので、念のため確認をしておきます。

ψ=f(r)cosθ=f(r)z/r
となるので
∂_x ψ=z{(d/dr)(f(r)/r)}*(∂r/∂x)=z{(d/dr)(f(r)/r)}*x/r
∂_y ψ=z{(d/dr)(f(r)/r)}*(∂r/∂y)=z{(d/dr)(f(r)/r)}*y/r
を代入すると0となるわけです。


計算が大変ですが極座標で解くことも出来ます。
チェインルールを使い
∂/∂x=∂r/∂x*∂/∂r+∂θ/∂x*∂θ/∂x+∂φ/∂x*∂/∂φ
∂/∂y=・・・
∂/∂z=・・・
の∂r/∂x、∂θ/∂x、∂φ/∂xをごりごり計算してからL_ｚに代入しf(r)cosθの形のまま作用させれば同じ結果を得ます。

owata-www · Answer

＞固有関数の具体的な関数が分かっていない
というところから本当に理解しているのか？とちょっと疑問に思います

まあ、それはいいとして
r^2=x^2+y^2+z^2
x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ
から(∂r/∂x)などがわかるので、そこからちまちま計算すればとけるかと


あと、極座標を使わなくてもこの各値が外積であることに気づけば解けます

e_o_m · Answer

波動関数ψはf(r)とf'(r)で与えられていますから、ψ=f'(r)zにL_zを作用させるのでなく  ψ=f(r)cosθ　に作用させてみましょう。
f(r)の具体的な関数形が分からなくとも、f(r)のx,y偏微分は合成関数の微分を使うと
∂_x f(r)=(∂_r f(r))(∂_x r)
と計算することが出来ます。

量子力学(角運動量の固有状態について)の問題

物理をやっていない人が少しだけ囓るには少々きついですよね。

＞固有関数の具体的な関数が分かっていない

波動関数ψはf(r)とf'(r)で与えられていますから、ψ=f'(r)zにL_zを作用させるのでなく ψ=f(r)cosθ に作用させてみましょう。

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