A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
内心 = 三角形の 各内角の二等分線 3本の交点
外心 = 三角形の 各辺の垂直二等分線 3本の交点
重心 = 三角形の 各中線(頂点と対辺の中点を結ぶ線) 3本の交点
垂心 = 三角形の 各頂点から対辺へ降ろした垂線 3本の交点
各「○心」の存在は、証明済みとして…
正三角形において、
内角の二等分線と
辺の垂直二等分線と
中線と
頂点から対辺へ降ろした垂線と
が、一致することを示せば ok。
No.7
- 回答日時:
ゴメンナサイ
m(__)m
回答に間違いがありました。
課題には間に合わないと思いますが、訂正します。
外心の方の証明が違います。
正三角形で、重心と内心・外心が同じであることの証明は
内心と重心とが同じことの証明⇒左の図の赤線が同じ長さの証明
外心と重心とが同じことの証明⇒右の図の赤線が同じ長さの証明
です。
そのため外心の方は、前の回答の「ピンクと水色」ではなく、「ピンクとむらさき」の部分の合同を証明する必要があります。
No.6
- 回答日時:
正三角形は、重心・内心・垂心・外心は全て一致する。
高1なら、初等幾何でいくか。書込みが面倒だから、コピーしてきた。w
[重心→内心]
正三角形ABCの重心をGとする.
このとき,重心の性質からAGとBCの交点をLとするとLはBCの中点.
△ABL≡△ACLからAL,すなわちAGは∠BACを二等分する.
同様にBGは∠ABCを,CGは∠BCAを二等分するのでGは△ABGの内心。
[内心→垂心]
正三角形ABCの内心をIとする.
AIとBCとの交点をPとすれば△ABP≡△ACPで,∠APB=∠APC=90°,すなわちAI⊥BC.
同様にBI⊥CA,CI⊥ABから、Iは△ABCの垂心.
[垂心→外心]
正三角形ABCの外心をHとする.
AHとBCとの交点をVとすればAV⊥BC,AB=ACから△ABV≡△ACV.
したがってAHはBCの垂直二等分線となる.
同様にBHはCAの,CHはABの垂直二等分線となり,Hは△ABCの外心.
[外心→重心]
正三角形ABCの外心をOとする.
このときOA=OB=OC,BC=CA=ABから△OBC≡△OCA≡△OABとなり,OAとBCの交点をXとすればBX:XC=△OAB:△OAC=1:1となるから、XはBCの中点.
同様にOBとACの交点,OCとABの交点もぞれぞれAC,ABの中点になるので Oは△ABCの重心.
以上よりすべて一致する.
No.4
- 回答日時:
続きです。
図中の点Oは重心とします。
このOが内心はと一致することを証明するには、
△AaO
△AcO
△CbO
の3つの三角形が合同であることを証明すればOKです。
⇒Oa=Ob=Ocが証明できます。
同じように、
Oが外心と一致することを証明するには、
△AaO
△AcO
△BbO
の3つの三角形が合同であることを証明すればOKです。
⇒OA=OB=OCが証明できます。
では、それぞれ3つの三角形が合同なのをどうやって証明するのかということは、手間はかかりますが、「重心」の定義を中学の数学を使うとできます。
この回答へのお礼
お礼日時:2009/02/25 23:44
rukukuさん何度も来ていただいきありがとうございます(^^)
画像つきでとてもわかりやすいです。
明日までには頑張って理解をしたいと思います。
参考になりました!!
No.3
- 回答日時:
はじめまして
正三角形では、重心と外心と内心はすべて一致します。
証明は三角形の合同を上手く使えばできます。
(詳細は今作成中ですので少々お待ちください)
定義はこちら
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
まず、外心は、コンパスで3頂点を通る円を描くときの、コンパスの針の部分です。
コンパスの針の位置を、点Oとします。
では、内心が、点Oとは違う位置にある点Pだとしましょう。
そして、コンパスの針で刺したまま120度回転します。
すると、回転する前とそっくりな状況になります。
そのときの内心を点Qだとしましょう。
さらに120度回転します。
そのときの内心を点Rだとしましょう。
すると、内心は、点P、点Q、点R の3箇所だということになってしまいますね。
内心は、1点しかないはずです。
しかし、
コンパスの針の位置そのものを内心だと考えると、内心は1か所、つまり点Oが内心だということになり、
内心が1か所しかないことと矛盾しなくなります。
同様の考え方で、重心も点O(コンパスの針)であることが示せます。
以上、ご参考になりましたら幸いです。
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