円運動の問題

長さＬ棒の一端に質量Mのボールをつけ　点Oを中心にして鉛直面内で円運動をさせる　円運動をさせるために必要な最下点での速さの最小値を
Vとする　ただし　棒の質量は無視でき　中心Oで棒の回転による摩擦も無視できるのとする
また　長さLのひもの一端に質量Mのボールをつけ　点Oを中心にして鉛直面内で円運動をさせる　この運動をさせるために必要な最下点で速さの最小値をUとする　ただし　ひもの質量は無視でき　ひもは伸び縮みしないものとする
　
速さの比　V：U　はいくらか？　

No.2 ベストアンサー 回答者： fatbowler 回答日時： 2009/04/04 01:48

No.1の方が自信なさそうなので補足します。

紐の場合、張力が常に０以上なら弛まずに円運動になります。
頂点で張力が０になる場合が円運動になる限界です。

円運動をしているとき、遠心力、張力、重力の紐の向きの成分は釣り合っています。
（ボールは円の接線方向に運動しており、掛かっている力の合力は、接線方向の
成分だけが残ります。紐の向きの成分が残ると、紐が弛むことになります。）

鉛直上方からの紐の傾きをθ、張力をＴ(θ)、ボールの速度をｕ(θ)とすると、
Ｍ・ｕ(θ)^2／Ｌ＝Ｔ(θ)＋Ｍｇcosθ
つまり
Ｔ(θ)＝Ｍ・ｕ(θ)^2／Ｌ－Ｍｇcosθ
第１項はθが０のときに最小、第２項（Ｍｇcosθ）はθが０のときに最大なので、
Ｔ(θ)min＝Ｔ(θ＝０)
　＝Ｍ・ｕ(θ＝０)^2／Ｌ－Ｍｇcos０
　＝Ｍ・ｕ(θ＝０)^2／Ｌ－Ｍｇ
　≧０

あとはNo.1の回答と同じです。
計算も合っていると思います。

No.1 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/04/04 00:34

●　勘違いが有るかもしれないが・・・

　頂点での速さをＶ0，Ｕ0とすると，棒の場合には頂点でＶ0≧０であれば良いが、紐の場合には円運動を描くためには遠心力≧重力（ここが不安だが・・・）でなければならない。
１）棒の場合
　エネルギー保存から
　（１/2）ＭＶ＾2＝（１/2）ＭＶ0＾2＋Ｍｇ（２Ｌ）
　Ｖ＾2－４ｇＬ＝Ｖ0＾2≧0より　Ｖ≧√（4ｇＬ）
　∴Ｖ＝2√（ｇＬ）

２）紐の場合
　Ｍ・（Ｕ0＾2/Ｌ）≧Ｍｇより　Ｕ0＾2≧ｇＬ
　同様にエネルギー保存より，
　（１/2）ＭＵ＾2＝（１/2）ＭＵ0＾2＋Ｍｇ（２Ｌ）
　Ｕ＾2－４ｇＬ＝Ｕ0＾2
　Ｕ＾2－４ｇＬ＝Ｕ0＾2≧ｇＬ　∴Ｕ＾2≧５ｇＬ　
　Ｕ≧√（５ｇＬ）
　よってＵ＝√（５ｇＬ）

３）よってＶ：Ｕ＝2√（ｇＬ）：√（５ｇＬ）＝２：√５
　これでいいのだろうか？