力学　ちょうつがいの問題　大学受験

Question

力学の問題ですが、よくわかりません。よろしくお願い致します。

問題
鉛直な壁面上のちょうつがいOのまわりに自由に回転できる、質量m、長さLの棒がある。棒は60度傾き、先端を水平な糸で壁と結ばれている。糸の張力Tと、棒がOから受ける力の大きさFと向き（壁からの角度をθとしてtanθ）を求めよ。

自分はいつもどおり、上下、左右の力のつりあいなどを考えようと思ったのですが、よく問題を読むと、問われている、棒がOから受ける力の向きは、問題に60度と書いてあると思います。
でも、解説を読むと、
左右のつりあい、Fsinθ=T
上下のつりあい、Fcosθ=mg
Oのまわりのモーメント
TLcos60度＝ｍｇL／２sing60度
となっていました。

ここで質問なのですが、この立式がいまいちよくわかりません。
どうして、上下、左右のつりあいのときは、角度がθになっているのですか？どうして60度ではないのでしょうか？
また、モーメントを考えるときは、60度が代入されています。
これはどうしてでしょうか？

勉強不足ですが、よろしくお願いします。補足が必要であれば、させていただきます。

mgsinx · Accepted Answer

もちろん、棒は壁からの垂直抗力を受けています。
その垂直抗力は力Fに含まれています。
ただ、壁（ちょうつがい）から受ける力が垂直抗力のみだと棒が壁を下方向に滑り落ちてしまうことになるので、棒はちょうつがいから鉛直上向きの力も同時に受けているはずです。
そして、棒が壁から受ける垂直抗力と鉛直上向きの力の合力が力Fなのです。
垂直抗力はいわば壁がへこまないために壁が物体に与える力であり、今回の問題はそれに加えて壁を滑らないための鉛直上向きの力が棒に与えられているのです。
鉛直上向きの力を与える要因はちょうつがいの場合もあれば摩擦の場合もあります。

上で述べたように、純粋に壁が物体に与える力は垂直抗力であり、壁に対して常に90度です。
しかし、壁が水平でなかったりすると物体が滑り落ちてしまうため、物体が静止するために何らかの別の力が必要になります。
この力が今回はちょうつがいによる鉛直上向きの力だったわけであり、本来なら垂直抗力と鉛直上向きの力は分けて考えた方が自然だと思います。
分けて考えるということは、片方の力はもう片方の力と何の関係も持たないということです。
つまり、片方の力（例えば垂直抗力）だけが大きくなることもあり得ます。
そうなると、双方の力の合力の向きは一定でないことがわかります。
しかし、今回の問題はどちらの力も作用点が一致しているので、合力Fとして一緒にまとめて考えているのです。

結局は、力の向きや壁の向き、糸の向きに全く関係のない方向に力が働くことはないのです。
あるとしたら、それは何か別の力同士の合力を求めた結果です。
このように考えると今回の問題も特別なわけではないです。
ただ、2つの力の合力として力Fを考えたために分かりにくくなってしまったのかも知れません。

※今日から事情により一週間ほど返信できないですが、ご了承下さい。
何か他に答えるべき事があれば一週間後に必ず返信します。

ht1914 · Answer

＃２です。
＞↑とすると、未知数θが一つ増えるということですよね？
もし角度指定なのに、それを未知数とおくと、解けないのでは・・・？

解けているでしょう。
tanθ＝（１／２）tan６０°＝（１／２）√３
三角関数表を引くとθが決まります。

モーメントを考えるような場合は力の作用点がずれています。
だから　θ≠６０°というのは普通に起こることです。
力の方向は棒の方向とは一致していません。
棒の方向の６０°は決まっているのです。力の方向がすぐには決まらないということです。
もしかして力の方向はいつも棒の方向と同じになると考えて、力の方向が未知数になれば棒の方向も未知数になると考えたのではないでしょうか。

＃３のお礼に書かれている「壁からの垂直抗力は？」という疑問について。
質問文の中の左右の釣り合いの式に出てくるＦsinθは垂直抗力です。

mgsinx · Answer

棒に働いている力は水平方向の張力、鉛直方向の重力、それから壁から受ける力Fのみです。
仮に力Fが60度の角度で働いているとします。
このとき力のモーメントの中心を重力の作用点とすると、モーメントの中心は重力と力Fの作用線上にあることになります。
なので、この棒の回転に関与する力はFのみとなり、モーメントがつり合わなくなります。
これでは棒は静止しないので矛盾が生じます。

仮に60度という予測ができてもそれは正しいとは限らないので、ちゃんと説明ができるかどうかを確認して下さい。
説明が難しい場合はとりあえず角度を未知数として文字で置きます。
分かっている条件を全て使うことで、いずれその未知数を求めることができるはずです。

ht1914 · Answer

＞左右のつりあい、Fsinθ=T　　（１）
＞上下のつりあい、Fcosθ=mg　　（２）
＞Ｏのまわりのモーメント TLcos60度＝ｍｇL／２sing60　　（３）

全部解いてみて下さい。

（３）より　Ｔ＝（ｍｇ／２）tan６０°
（１）（２）より　Ｔ＝ｍｇtanθ
これより　tanθ＝（１／２）tan６０°
θ≠６０°ですね。
棒に働いている力の作用点がずれていますのでこういう事になります。糸が棒の端ではなくて中央（重心の位置）に付いていれば６０°です。

初めから棒の方向としてしまうと間違いが生じます。結果として方向が決まるという形で解いて下さい。

mgsinx · Answer

壁からの角度とは、垂直上向きの方向に対する角度でしょうか...。
まず前提として、棒が糸から受ける力T（糸は水平なので、水平方向の力）、
壁から受ける力F（Oから、垂直上向きに対して角度θの方向:この時点で角度はわからないのでθ（0<θ<π/2）とおく）、
モーメントの中心をOとします。
すると力とモーメントのつり合いより、質問文に書かれた3つの等式が成立します。
θがわからないと書きましたが、正確には、60度である理由が存在しない（一般には60度ではない）ということです。
仮に60度である理由が存在するのなら、そのことを等式で証明し、代入するだけです。
力のつり合いの式では、Fの水平方向、鉛直方向の大きさを求めるのでθを用います。
モーメントのつり合いの式ではLとTのOからの距離を求めるので、60度を用います。

とても大ざっぱな説明なので、わからない点があれば補足します。

力学 ちょうつがいの問題 大学受験

もちろん、棒は壁からの垂直抗力を受けています。

＃２です。

棒に働いている力は水平方向の張力、鉛直方向の重力、それから壁から受ける力Fのみです。

＞左右のつりあい、Fsinθ=T （１）

壁からの角度とは、垂直上向きの方向に対する角度でしょうか...。

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