【力学】複雑なトラス構造の問題に出会いました

Question

こんにちは、図のトラス構造において、
1） A, Bでの反作用の力を求めよ
2） IE, IFそしてJFでの力を求めよ
3)  NJ, MNでの力を求めよ
なお、トラスの重さは考えないこととする。

というものです。Bには車輪がついており、横軸（x軸）方向の反作用の力を受けていないということだと思われます。すみません「思われます」と言っておりますのは、問題説明文がとても簡素でして、詳しい説明が載っているわけではないからです。ご容赦頂ければと思います。

ここで、私なりの解答を申し上げたいのですが、実はまったくどうして良いか分からずにおります。
１）について求めるのは、Aに及ぼされる反作用力のx軸、y軸成分、Bに及ぼされる反作用のy軸成分の三つで、系全体が平衡状態にあることから、正味の力（x軸方向）、正味の力（y軸方向）、正味のトルクがそれぞれすべてゼロになるという運動方程式を立てれば、三つの方程式、三つの未知値を求めることができると思われます。ただ・・・どうやってトルクを考えればよいのか、どこを回転軸とするトルクを考えればよいのかが分かりません。おそらくP点を回転軸と考えるのではないかと考えますが、反作用の力がこの回転でどういったトルクをもたらすのか分かりません。つまり、図面下方にある反作用力がどう上方向に分配されていくのかが理解できずにおります。
他の二つ、2, 3)についても、どのようにちからが分配されていくのか想像できません。

どうかご教示頂きますようお願い致します。

不明な点が図や文面にあれば補足説明申し上げますゆえ、どうか回答を頂き、ヒントを与えて頂ければ幸いです。

非常に悩んでおり、また解答がないため、困っております。

どうか宜しくお願い致します。

ddtddtddt · Accepted Answer

#3です。理屈（理論）に対して、とても誠実な方だと感じました（お歳がわからないので、偉そうに言ってます・・・）。なので、ちょっと本気になりました(^^)。

1)の前半について

＞Q点を回転軸とおきますと、F1は回転軸上の力なので距離はゼロ、F2は半径方向（TQ方向）に対して力の方向が平行であるためにやはりトルクはゼロ、そして残るAとBについて、それぞれの支点反力は未知数として、Rax, Ray, Rby, をおいてこれらを求めていく・・・

その通りです。

1)の後半その一

＞何も物質がなくとも最短距離を計算で求めて、その距離方向と力の角度を計算してトルクを求めれば良い・・・

その通りです。トルク（力のモーメントとか偶力とも呼ばれますが）のつり合いは、シーソー（梃子）の原理と同じと思いませんか？。なのでＱを回転中心に選ぶと、Ｒａｘに対する「距離」＝「腕の長さ（アーム）」は、Ｑ点から地盤（Ａ点）までの鉛直距離になり、Ｒａｙに対する「距離」は、Ｑ点とＡ点の水平距離になります。結果は、あなたのやろうとしている事と同じです。
　ただし「距離×力」がどっち回りになるかは注意して下さい（シーソーや梃子をイメージして）。たいていは左回りのトルクを正の値とします（自分の業界では）。

1)の後半その二
　
＞・・・A点から回転中心Qへの最短距離には何も物質がありません。

ここがちょっと違います。ＡからＱには、力を伝える物質、Ａ点とＱ点をつなぐ部材群がありますから、力は確かに物質を通じて伝わってるわけです。ただしトルクの伝わり方は、先に述べた梃子の原理で、内部構造に関わる事無く考えられる、というのが、トルク（モーメント）のつり合い方程式の言っている事です。

以上の事は、数式で示す事もできますが、トラス理論を開発した昔の人たちは、もっと具体的な感覚を持っていました。こっちの方が実用的かも知れないので、述べてみます。

「剛体」とは、力を受けても変形しない物体の事を言います。剛体が図のようにピンとローラーの2点で支持され、荷重Ｆ1とＦ2を受けて釣り合っていたとしたら、どうでしょう？。3つの地盤反力成分は、3つのつり合い方程式から計算され、その結果は剛体なので、内部構造とは無関係なはずです（変形しないから）。
　トラスはもちろん剛体ではありませんが、荷重が作用しきって変形しきった「後」では、もはや変形しないので、「剛体のつり合いと同じ」です。だとすれば、内部構造に関わる事なく、3つの地盤反力成分は、3つのつり合い方程式から計算できるはずです。静力学では、常に「変形しきった後の状態」を問題にするからです。

1)の後半その三
　その二の考えを受け入れると、本当に物質的つながりがない点に回転中心を選んでも良い事が、物理的に納得できます。構造系全体が、荷重Ｆ1，Ｆ2に対して「変形しきった後」に、点Ｒの真上Ｌ(m)地点にピン支点Ｚを設け、重さのない部材ＺＲを後付けします（施工可能かどうかは問いません）。このようにしても、「変形しきった後」＝「つり合いきった後」なので、構造系の状態は変わらないはずです。
　さらに支点Ａ，Ｂを開放します。このようにしても、地盤反力が作用した「後」なので、構造系の状態は変わらないはずです（危ういつり合いではありますが）。この構造系はＺを中心に回転できますが、釣り合っているので、トルクのつり合い式は満たされ、その時の地盤反力は、支点Ａ，Ｂを開放する前の地盤反力と同じです。よって、少なくとも静力学では、トルクのつり合い式の回転中心は、どこに取っても良い事が証明できました。どこに取っても良い事を示す物理的条件が、具体的に設定可能なのが、わかったからです。昔の人たちは、どうもこういう感覚で理論化して行ったようです（すごいと思います）。

2)以下については、いずれもその通りです。

#2や#3でご紹介した方法は、格点法と言われる静定トラスの解法です。モーメント法と言われる静定トラスの解法もあります。これは例えば、図のＱＲとＬＭの間でトラスをぶった切り、部材力ＱＲ，ＱＭ，ＬＭをぶった切った左部分系の外力と考えて、Ａ点の支点反力とのつり合い取って、部材力ＱＲ，ＱＭ，ＬＭを直接求めようという方法です。以上がご理解頂ければ、明らかな解法と思われます。

※　設計計算でモーメント法が余り用いられないのは、部材力を全て求めたいのが普通で、格点法の方が効率良いからです。モーメント法は、ピンポイントで部材力を知りたい時に使います。

ddtddtddt · Answer

#4です。補足の計算を、添付図にしてみました。添付図が正しければ、という前提で以下です。

＞RayがもたらすトルクはRay x cosθ x 12.2= -12Ray （時計回り） 
＞RaxがもたらすトルクはRax X sinθ x 12.2= 2Rax （反時計回り）

図からすると、cosθとsinθが逆と思えます。ケアレスミスと思いますが、ポンチ絵程度でも良いので、必ず図を書いて考えた方が無難です。モーメント（トルク）の方向はOKと思います（反時計回りが正）。

＞次に、格点Bにおける釣り合いを考えます。
＞Rby - Feb x cosα -Ffb x Cosα = 0　αは∠EBFの半分の値

添付図にあるようなＢ点のつり合いをお考えなら、OKと思います。これは部材ＢＥ，ＢＦに対して圧縮力を仮定した事になります（計算値が負になったら、じつは引張だったとなります）。

＞そして、格点Eにおける釣り合いを考えます。
＞βを力Febの方向と辺EIがなす角度とすると、
＞Feb x cosβ - Fie = 0
＞Feb x sinβ - Fef = 0

もしここでも、部材ＥＩとＥＦに関して、添付図のように圧縮力を仮定するなら、FieとFefの符号が違います。部材力を圧縮力に仮定するといったん決めたなら、計算途中で変えない方が無難です。また鈍角のβなどを取ると、cosの符号が逆転するので、わずらわしいです。
　前回が言葉足らずだったと思いますが、図のように、部材の両端で部材に作用する力は、必ず逆向きになります（そうでないと釣り合わないから）。前回、「部材力ＣＤ（＝ＤＣ）」などと書きましたが、この意味は、添付図のように格点での力の方向を、ベクトルの矢印で定め、その大きさは等しいという意味で使っていました。なのでやはり図を描いた方が無難です。

このようにトラスの計算には、若干わずらわしいところがあるので、部材力は圧縮か引張かに統一して仮定する事にし、図中の青で示した鋭角γ一つなどで処理した方が、良い気がします。

＞次に格点Fの釣り合いを考えます（Fefが求まらないと格点Fに作用する力をすべて求めることができないようですね）。

＞このようにして、順々に力を求めていく・・・

そうです。それを言いたかったんです(^^)。

ddtddtddt · Answer

#2です。、2, 3)についての追伸です。

#1さんも言っておられますが、支点から部材力を追いかけて行くのが基本です。格点に集まる力のつり合いを考えます。つり合い系なら、内部も釣り合ってるという発想です。

たとえばＡ点なら、地盤反力Ｐx（水平），Ｐy（鉛直）と部材力ＡＣ，ＡＤがＡに集まります。点（格点）のつり合いを考える場合は、トルクのつり合いは使えません（無意味だから）。使えるのは水平と鉛直の力の合力ゼロの2つです。

Ａでは、Ｐx，Ｐyは最初に計算したので、未知数はＡＣ，ＡＤの2つです。つり合い条件も2つあるので、ＡＣ，ＡＤがわかります。この時必要なのが、ＡＣ，ＡＤを水平／鉛直に分解するための部材の角度です。

Ａ点を処理した後で、ＣかＤの格点に向かいます。Ｃには4つの力が集まっていて、ＡＣは既にわかっていますが、未知数は3つになります。そこでＤを先に処理します。ＤではＡＤ（＝ＤＡ）が既にわかっているので、未知数はＤＣとＤＨの2つなので、計算可能です。

Ｄを処理した後Ｃに向かえば、ＡＣ（＝ＣＡ）とＤＣ（＝ＣＤ）がわかっているので、未知数はＣＧ，ＣＨの2つです・・・。このように順序さえ間違えなければ、すべての部材力を順番に計算していけるのは、わかって頂けると思います。

もちろん、どうしても格点の未知数が3個以上になるトラスもあり得ます。このようなトラスは内部不静定と言われます。また地盤反力を、3つのつり合い条件だけでは求められない例もあります。これは外部不静定と言います。しかし外部不静定でも、内部「静定」なトラスは、ごまんとあります。こういう場合は、反力さえ何らかの方法で求めれば、部材力は、上記の方法で処理できます。

そういう訳で、まず完全に静定なトラスをマスターする事を、お奨めします。

ddtddtddt · Answer

まず用語の定義にちょっと付き合って下さい。

Ａ点，Ｂ点の事を支点と言い（構造力学における正式名称です）、A, Bでの反作用の力の事を支点反力とか、地盤反力とか言います。一般的に支持力と言われる事もあります。

トラス部材の交点（図のＮとかＩ）の事を、トラスの格点と言います。トラスとは、部材が格点で自由に回転でき、部材が接合部で曲げを伝えない骨組み構造の事を言います。もちろんこれは近似ですが、ふつうの設計計算では、そのような近似で十分な事がわかっています。
　Ａ点，Ｂ点は幅を持っていて、曲げを伝えそうですが、トラス構造と言い切った問題なので、A, Bも点と考えて良いはずです。要するにＡ，Ｂも格点の一種とみなせます。

そうするとＡ点は、x方向とy方向に拘束され（動けない）、回転自由なのでピン支持と言われるものです。Ａ点の反力は、x方向，y方向拘束に対応して、水平反力（反作用力のx軸成分）と鉛直反力（反作用力のy軸成分）が現れます。Ｂ点はご想像の通りで、ローラー支点と言われ、鉛直反力のみ現れます。

トラスは曲げを伝えないので、図のように、荷重Ｆ（反力）が格点のみに作用する場合、部材力は軸力（たとえば部材ＰＱに平行な引張／圧縮力。ＰＱでは水平力になる）のみ考えれば良くなります。

なので最初に地盤反力を求め、支点につながる部材の順序と角度に従って、支点反力を部材力に分配して行くという方法は、手計算の場合、最も基本的で効率的な（組織的な）方法になります。

前置きが長かったですが、

＞正味の力（x軸方向）、正味の力（y軸方向）、正味のトルクがそれぞれすべてゼロになるという運動方程式を立てれば、・・・

の「それぞれすべてゼロになるという運動方程式」の事を、ふつう「つり合い方程式」と言います。「それぞれすべてゼロ」＝「加速度ゼロ」＝「動かない」＝「釣り合ってる」という考えです。また動かない力学系を扱う範囲を、「静力学」とか「つり合い系」とか言います。

つり合い系（静力学）において、トルクのつり合い方程式の回転軸は、どこに取っても結果は変わりません。つまり任意点を回転中心としても、地盤反力の結果は同じです。そこで普通は、計算に便利そうな点を（勝手に？）回転中心に選びます。図では、Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｔが候補になりますが（力を一個省略できるので）、もちろんＰでもかまいません。ケースバイケースです。

※　動力学（運動方程式）の場合は、回転加速度が回転中心に依存するのでこうはなりません。「静」の場合は、回転加速度が常にゼロなので、どこでも良いわけです。

という訳で、あなたの処方箋は正しいです。

masa2211 · Answer

図を見た限りでは、静定構造物であり、構造物の変位を考えずに解けるから、簡単な構造物に分類されます。

＞どこを回転軸とするトルクを考えればよいのかが分かりません。
どいこでもいいです。通常、計算が簡略化できる位置とするから、支点ＡＢのどちらか。
そこ以外でも計算自体は可能なので、どこでもいいとしかいえません。

＞他の二つ、2, 3)についても、どのようにちからが分配されていくのか想像できません。
支点反力が求まれば、あとは端から順に力の釣り合いを解いていくだけ。（たまたま、静定構造だから。）単純に機械的作業。
一般論として、トラスはたわみを計算しないと解けませんが、たまたま、たわみ計算不要という、コンピュータ不要（＝電卓のみ）で解ける、単純な構造ですけど......

【力学】 複雑なトラス構造の問題に出会いました

#3です。

この回答への補足

#4です。

#2です。

まず用語の定義にちょっと付き合って下さい。

図を見た限りでは、静定構造物であり、構造物の変位を考えずに解けるから、簡単な構造物に分類されます。

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