三次方程式の問題

三次方程式x^3-(a^2-1)x-a=0において、実数である会はただ一つであるような実数aの範囲を定めよ。ただし重解は一つと数える。[A.-2<a<2]

という問題です。
どうやって解けばよいのでしょうか？
因数分解かなと思ったのですが、できないし、全然わかりません。

よろしくお願いしますm(__)m

No.2 ベストアンサー 回答者： susumutft 回答日時： 2003/03/31 15:53

x=aとすると、（左辺）＝０となるので、左辺の式は

(xーa)で因数分解できることがわかります。

そのあとは、No.1さんみたいにやっていったらいいのだけど、
三重解の可能性も吟味しておく必要があります。
(x-a)(x^2+ax-1)＝(x-a)^3のときだけど、
これを満たす実数aは存在しない。

これでよろしいのでは？

この回答へのお礼

＞x=aとすると、（左辺）＝０となるので、
これにきがつきませんでした。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2003/03/31 18:10

No.7 回答者： maruru01 回答日時： 2003/03/31 18:25

No.4とNo.6さんへ。

私の勘違いでした。
三重解はダメと質問を読み違えてました。
三重解もOKなんですよね。
失礼しました。
あと、余計なことでたくさん回答して、質問者さんにも申し訳なかったです。

この回答への補足

Ｎ02さんのように吟味すればよいわけですね。
皆さまありがとうございました。

補足日時：2003/04/01 13:47

No.6 回答者： TK0318 回答日時： 2003/03/31 18:13

別個に吟味する必要があります。

(x-a)(x^2+ax-1)がただ１つの実数解を持つ条件はx=aは確実なので
x^2+ax-1がx=a（重解）もしくは虚数
ですので＃４の方の回答にあるように別個に３重解（Ｄ＝０かつx=aの場合）を調べないといけません。

No.5 回答者： maruru01 回答日時： 2003/03/31 16:32

No.4さんへ。

二次方程式において、
「判別式 < 0」と、「2つの異なった虚数解を持つ」は互いに必要十分条件なので、
判別式 < 0
を満たす場合は、「絶対に重解（三重解）ではない」のではないですか。
（と主張していながら、自信はあまりないんですけどね。）

この回答への補足

この議論は全然わからないっす(^^；

補足日時：2003/03/31 18:11

No.4 回答者： ranx 回答日時： 2003/03/31 16:09

私も横レス。

> 判別式 < 0（虚数解）
> を条件としていることの中に、三重解でないことは含まれている
はNo.3さんに同意。
しかし、だからこそ三重解の場合は別個に吟味すべきだと思います。

No.3 回答者： maruru01 回答日時： 2003/03/31 16:05

こんにちは。

maruru01です。

まったくの横レスですが。
No.2さんへ。
三重解となる場合は必ず実数解だから、No.1の人の方法で、
判別式 < 0（虚数解）
を条件としていることの中に、三重解でないことは含まれていると思いますが。
（つまり、わざわざ吟味する必要はない。）

No.1 回答者： ta-nuki 回答日時： 2003/03/31 15:39

x^3-(a^2-1)x-a=(x-a)(x^2+ax-1)なので、

x^2+ax-1-0が虚数解であればよい。
x^2+ax-1の判別式は a^2+4なので、
a^2+4<0が必要十分条件。
よって、-2<a<2の範囲です。

この回答へのお礼

因数分解に気が付きませんでした。
すごくわかりやすいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/03/31 18:10