ポアソン分布の問題で

ある窓口を1時間に訪れる人数Kは、平均1.5人とする。このとき、人数Kはポアソン分布に従うとして、1時間に3人以上訪れる確率を求める。平均1.5人だからλ=1.5として、1時間にk人訪れる確率は P1.5(k) = (1.5)^k / k! * e^-1.5 となる。したがって、この窓口に1時間に3人以上訪れる確率は、1 - ( P1.5(0) + P1.5(1) + P1.5(2) ) = 0.001 となる。

という問題＆解説があるのですが、
P1.5(k) = (1.5)^k / k! * e^-1.5 の計算の仕方がわかりません…。
テイラー展開を使うらしいと聞いたのですが、そうすると数値が正確なものを求めるのではなく、およそ0.001ということになりませんか？

（私の計算）
e^1.5 = (1.5)^0/0! + (1.5)^1/1! + (1.5)^2/2! …
= 1 + 1.5 + 1.125 …
ここから先どうすればいいのかで詰まっています。

どなたか解説お願いします…。

No.2 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/07/23 17:49

ポアソン分布の式は平均値をμとして

Pμ,k=(μ^k/k!)*e^(-μ）...(1)
ですね。従って
P1.5,0=(1.5^0/0!)*e^(-1.5)=0.2231...(2)
P1.5,1=1.5*0.2231=0.3346...(3)
P1.5,2=1.125*0.2231=0.2510...(4)
となりますので、上記(2),(3),(4)を足して1から引いても0.1913にしかならないのではないでしょうか？なお、
e^1.5=4.48168...(5)
ですが、このように具体的に数字をだす計算は、結局のところ
e^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4+...(6)
を使うはずです。近似が嫌なら指数関数のまま書いておくしかありません。
しかし手計算でこれをやろうとすると、xの絶対値が0に近い訳でないのでxの高い次数まで使わないと正しいあたいになってくれません。たとえばx^6の項までとって
1+1.5+1.125+0.5625+0.2109+0.06328+0.01582
=4.4775...(7)
となり、(5)と比べ四捨五入すれば三桁までは合っています。更に計算を続ければ限りなく真の値に近づいて行きます。(7)の逆数は
0.2233...(8)
となりe^(-1.5)の正しい値にかなり近いことは近いです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2009/07/22 05:10

> e^1.5 = (1.5)^0/0! + (1.5)^1/1! + (1.5)^2/2! …

普通はデンタクか表計算ソフトかで計算するんです。
じゃあ、デンタクや表計算ソフトはどうやって答をハジキ出してるのかと言いますと、
e^1.5 = (1.5)^0/0! + (1.5)^1/1! + (1.5)^2/2! …
を計算してるんですよ。
「数値が正確なもの」と仰いますけど、e^1.5は数値にすると無限小数になるんで、有限桁の数値として正確に表すことはできません。