円の断面二次モーメント

半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。

直径(D)から求める場合は
dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
=πDdD
I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64

となるのは理解しました。
D/2=r
なので
上記の結果から
I=πr^4/4
になるのもわかります。

しかし、rからもとめる場合
dA=π(r+dr)^2-π(r)^2
=2πrdr
I=∫y^2dA=∫2πr^3dr=πr^4/2
となってしまいます。

Ip=Ix+Iy
Ix=Iy
なので
Ix=Ip/2
=(πr^4/2)/2
=πr^4/4

となる。
rの場合に上記の理由で1/2するのならば、Dの場合1/2もするのではないのでしょうか？
しかし、Dの場合は1/2すると答えはかわってしまうので1/2しない。
ここがわかりません。
なぜ？
断面二次極モーメントだからと書いてあったのですが、この言葉も知りません。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： felicior 回答日時： 2009/08/25 02:24

＞半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。

まず断面二次モーメントには２種類あります。ひとつは
「断面の図心を通るx軸やy軸に対する断面二次モーメント」
で、IxやIyと書きます。Ixを求めるには、断面をx軸に平行に切り刻んだ面積をdA、
x軸からそこまでの距離をyとすると、Ix＝∫y^2dAとなります。

IxやIyは長方形断面なら求めやすいのですが、円形断面のときはIx(＝Iy)を求める
のが面倒なので、もうひとつの、「断面の図心に対する断面二次“極”モーメント」
を先に求めます。これはIpと書きますが、常にIp＝Ix＋Iyの関係があることを
利用するのです。Ipの定義は、断面を同心円状に切り刻んだ面積をdA、図心から
そこまでの距離(半径)をrとすると、Ip＝∫r^2dAとなります。

大事なのは先程とdAの中身が違うということです。ですから、

＞　I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64

この書き出しを見て、両者を混同されているのではないかと思いました。また、

＞　dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
＞　=πDdD

これもちょっと違います。詳しくは以下を参考にしてください。ちなみに円の面積Aを、A＝f(r)＝πr^2で表しています。

［rで解く場合］

dA＝f(r+dr)－f(r)
　＝π(r+dr)^2－πr^2
　＝2πrdr

Ip＝∫ r^2 dA
　＝∫ 2πr^3 dr　（積分範囲0～r）
　＝πr^4/2
ここにr＝D/2を代入すると
　＝πD^4/32

［Dで解く場合］

dA＝f((D+dD)/2)－f(D/2)
　＝π((D+dD)/2)^2－π(D/2)^2
　＝(πD/2)dD

Ip＝∫ (D/2)^2 dA
　＝∫ πD^3/8 dD　（積分範囲0～D）
　＝πD^4/32
となり、一致しました。しかしrを使ったほうが途中が分数にならないため楽です。

最後に断面二次モーメントIx,Iyは、
Ix＝Iy＝Ip/2＝πr^4/4＝πD^4/64

わからなければ補足して下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

Ix＝Iy＝Ip/2
この式はこうゆうものだととして覚えるだけなのでしょうか？

お礼日時：2009/08/26 15:15

No.2 回答者： felicior 回答日時： 2009/08/27 14:34

＞Ix＝Iy＝Ip/2

＞この式はこうゆうものだととして覚えるだけなのでしょうか？

簡単なので理屈を覚えたほうがいいと思います。
この式は、最初のご質問文にも書かれているとおり
Ip=Ix+Iy　・・・(1)
Ix=Iy　・・・(2)
の二つから導かれます。

このうち(1)は、それぞれの定義式：
Ip＝∫r^2dA
Ix＝∫y^2dA
Iy＝∫x^2dA
と、三平方の定理：
r^2＝x^2＋y^2
から常に成り立ちます。

一方(2)が成り立つのは
円形断面や正方形断面など特殊な断面形状のときだけです。
（とりあえず90度回しても変わらない図形ならOK。）
よって最初の式が成り立つかどうかは(2)に依存します。

この回答へのお礼

三平方の定理だとは思いませんでした。

丁寧な説明ありがとうございます。

お礼日時：2009/08/27 17:19