量子力学の世界における「1+1=2」は？

Question

みなさんこんにちは。

連休突入ですね。
私はこの連休中に日頃の疑問を一気に解決したいと考えております。
これはその第一弾！

本題に入る前にまず、私の物理学レベルを明らかにしておきましょう。

「確かフラミンゴの法則ってあったよね？
あれって、右手だっけ、左手だっけ？
えっ！フレミング！？
あ、そうなの。でも、問題はそこじゃない！右手か、左手か！？
ええっ！どっちもあるの？？そう……」

というレベルです。お分かりいただけますでしょうか。つまり、何の知識も無い。

そういった私が問います。

「量子力学の世界ではあらゆる事象が確率でしか表せない」と聞きました（情報元はたぶんTV番組）。

では、「1+1=2」はどうでしょう？

これも確率でしか表せないのでしょうか？

もしそうだとすると、とんでもない事が起こると思います。

「1+1=2」が、ある確率でしか正しくないとすると、
確率の計算そのものがあやふやになってしまう、いや不可能になってしまうと思うのです。

こうなると、
「あらゆる事象が確率でしか表せない」
どころか、
「何がどうなるのやら、まったく分かりませんわ。アヘアヘアヘ…」
となるのでは？？？

「アヘアへ～」はさておき、
このような混乱が生じない理屈として、
私は一つの見解を見つけました。

それは、

「1+1=2を計算する者は、量子力学の世界の外に立っているので、
量子力学の確率論に巻き込まれない」

というもの。

コレってあってますか？

おそらく見当違い（どころじゃない）と思いますが…

蛇足）
私がこのような疑問を持つにいたった最初のきっかけは、
迂闊にも「哲学カテゴリ」に足を踏み入れてしまったことからです。
そこから数学を考え、「1+1=2」を考え、こちらに行き着いたのです。

cyototu · Accepted Answer

この問題を考えるには、色々こんがらかった概念を解きほぐして行く必要があるようです。

まず、数学とは言語であって、現象その物ではないと言うことを明確にする必要があります。言語とは論理のことであり、その論理は我々の頭が描いた世界の一つの表現です。我々の頭はもちろん外界の出来事に強く影響されておりますが、後で説明する和算の例を見ても判るように、自然現象に無関係に数学を発展させることも出来るのです。事実、我々は数学と言う言語を使って、この宇宙とは一切関係ない事柄の間の論理的整合性をも論じることが出来ます。従って、数学で表されることは，この宇宙より遥かに多くの自由度を持っております。言い換えると、数学とは、この宇宙の在り方に拘束されることなく我々の頭脳が生み出すことが出来るあらゆる論理的整合性を探る学問であると言うことも出来ます。従って数学者は必然的に一般化に興味があります。ところが数学者とは反対に物理学者はその数学と言う言語を使いながら、あの宇宙ではなくて、この宇宙と言う特殊な世界の個性を理解したいという連中です。ですから、物理学者は数学者とは違って、必然的に特殊化に興味があります。その辺りをはっきり認識しておかないと、数学を使いながら物理学の結果を論じる場合に支離滅裂になってしまうことがしばしばあります。

物理学者にとって「１＋１＝２」の意味は多義的です。まず、これは言語として自己完結していることの表現とも取れます。１＋１の値が一意に決まることが保証されているので、この言語を使って自然を記述することに不安を感じないで済み、従って、この言語を使って自然を分析してみようかという気を起こさせる象徴的な関係式と考えることが出来ます。確率論と言えども、この一意性が保証されなければ支離滅裂になって仕舞い、確率なる概念を導入することすら出来なくなってしまいます。

もう一つの側面は、１とか２とかの自然数の概念は不連続性を前提にして産まれて来たことを忘れては行けません。多分、そこのところで、頭の生み出したこの数学的概念が、自然界と結びつくことが出来るかもしれません。実際この宇宙の個性の一つとして、不連続に値の変わる事象があると言うことが、我々をして自然数なる言語の存在を認識させてくれたのでしょう。その意味ではプランクよる量子の概念の発見は本質的だったかもしれません。何故なら、プランクによて、物質の世界では自然数は単なる近似的な概念ではなく、量子という概念を使って実際に１、２、３、、、と厳密に区別することが出来ると言うことを明らかなったからです。もしこの宇宙が連続体だけで出来ていたとしたら、何処から何処までを空間と呼び、何処から何処までを物質と呼ぶかが恣意的になってしまいます。ところが、そのことに関する回答を古典力学の論理の内部で見出すのはそんなに自明なことではありませんでした。量子力学は、自然数の概念が近似的にではなく厳密な意味で自然界の記述に意味をなすことを明らかにしてくれたのです。ですから、「１＋１＝２」という論理は、数学が言語として成り立つこと以上に、この宇宙では意味があることを量子力学が明らかにしてくれたのです。

実は、古典力学でも不連続体の存在を決定付ける現象が存在します。それはアインシュタインの有名なブラウン運動の理論によって明らかにされました。アインシュタインはコロイドの位置の揺らぎを測定することによって、そのコロイドを浮かせている水が連続体ではなくて不連続な分子から出来ているかどうかが確認出来ることを、古典力学だけを使って明らかにしたのです。アインシュタインの予測は後に実験で肯定的に確認されました。そのことによって、物理学者はそれよりも１００年以上も前に化学者達によって提案されていた分子の存在を始めて受け入れるようになったのです。ですから、古典力学によっても、この宇宙には自然数なる概念が完全に意味をなす現象が存在することを示すことが出来たわけです。

最近では、非線形力学系のカオスの理論が有理数と無理数，あるいは超越数などの概念と直接結びつくことを明らかにしており、頭のゲームとして頭の中で勝手に創られた数学という言語が、不思議なことにこの宇宙と密接に関わっているようだということを暴き出し始めております。

蛇足ですが、西洋では数学は物理学の発展に大きく影響されて発展して来ましたが、そのことは必然的なことではありません。事実、日本の和算は単なる頭のゲームとして発展したのですが、それでも積分の概念や行列式の概念を西洋の数学とは独立に発見して来ました。日本人はその成果を自然現象の説明に使ってみようなどとは一度も考えなかったようです。彼らは、新しい定理を発見したり証明したりすると、その結果を絵馬に描いて、神社やお寺に奉納することで満足していたのです。ですから、数学の結果が自然界の記述に使えるかどうかと言うことは、決して自明なことではないのです。

613425 · Answer

量子力学とは ミクロの世界を語る物理学である って事は理解できますか？
で １＋１ の１が何を表しているのかにより話しの流れは変わります。
１Tonの水と１Tonの水を足したら間違いなく２Tonの水です。
ある範囲の空間に電子を一個閉じ込めて そこに更にもう一個の電子を入れた時 ある確率で先にいたはずの電子が見つからないこともある 
それは h （プランクの定数）の範囲内での出来事です。
hについて何かで調べてみて下さい。
量子力学はミクロの世界を語る物理学 一般論としての数学はマクロの世界を現す学問です。
つまり日常的には１＋１＝２の確率は限り無く１００％に近い値です。

613425 · Answer

１です。
確率と不確定性原理の考え方は非常に難解です。（私も入り口で迷子になりいまだに出口が見えません）
例えば、水素原子のなかの電子はある一瞬の時間の位置と速度とを一度に特定出来ない のだそうです。
速度を特定すると位置が不明確になる、位置を特定すると速度が不明確になる
但しどの位不明確かはその範囲を数学的に書き表す事が出来る。その範囲のなかのどの辺りになるかは確率的に書き表す事が出来る。のだそうです。
実際に目で見ることが出来ない現象を理解するのは難しいですが、たった一つ、工夫すれば目で見ることができる現象があります。
液体ヘリウムが入れ物の縁をよじ登り（引力に逆らって）容器の外へこぼれ出すと言う現象です。
質量の非常に小さいヘリウム原子の温度を絶対零度近くにまで冷却すると運動エネルギーが限り無く０に近くなります。その時位置の不確定の範囲が非常に大きくなります。
その結果入れ物の縁に近いヘリウム原子は引力と反対側にも存在範囲をひろげ、更に次々と存在範囲が広がると遂には液体が壁をよじ登るさまが目で見られるのです。
これが液体水素では起こりません。水素は原子ではなく分子（Ｈ2）として存在するからです。
つまり 不確定性原理の語る不確定とはそのくらい小さいはなしなのです。
現実に見たり触ったりできる世界とは無縁の話しと思ったほうが精神的に楽になれます。
確かに、ミクロの物質が積み重なってマクロの世界が出来ていますが、その不確定の範囲（大きさ、プランクの定数）はヘリウムと水素分子の重さの違いが如実に現れるほど小さいので、マクロの中に埋もれてしまい体感する事は出来ないのです。
キチンと物理学と数学を基礎から学ばないと私のように出口の見えない迷路で迷子になり一生精神的に病む事になりかねません。
頑張って下さい。

nitho_t · Answer

１）「1+1=2」は数式としては、量子力学上でも100%正しい。
２）しかし、現実の物質においては「1個+1個=2個」が正しいとは限らない。

１）正確には何を指すのか明示しなくては「1+1=2」は数式としては、量子力学上意味をなさない。

あえて言えばこの式は期待値が1である状態と同じ状態を重ね合わせると期待値が2である状態に等しい。という意味になりますがその「状態」が何を指しているかによって答えが変化します。従って真偽が判定できません。哲学との関連で言えばそういう意味で意味をなしません。

２）しかし、人間の五感が認識できるサイズの物質においては「1個+1個=2個」が正しい。

これは単純に言えば確率論の問題です。大数の法則が効きますので期待値の和がそのまま結果になります。より正確に言えばそうなることが期待できます。どのくらい期待できるかというと多くの場合はっきりとそうならない結果を出すのに必要な時間が宇宙の年齢より長くなるかと思います。
従って現実問題として正しい。（ここでの「現実」は自然科学的な現実であって社会科学的なそれとは違います。よくオカルトでごっちゃにしていることがあるので）

ちなみに以下の「計算」が何を指すのか曖昧ですが、それが観測（一般の観測より広い意味になります）行為を伴うならば、あなたは「量子力学の世界の」中「に立っているので、量子力学の確率論に巻き込まれ」ています。

簡単に言えば貴方に見られた原子は貴方と相互作用を起こし、その状態を遷移します。（貴方の方も相互作用を起こし、遷移しますがそれは現実の物理量にはほとんど反映されないので認識されることはありません。）

「1+1=2を計算する者は、量子力学の世界の外に立っているので、
量子力学の確率論に巻き込まれない」

量子力学の世界における「1+1=2」は？

量子力学とは ミクロの世界を語る物理学である って事は理解できますか？

１です。

１）「1+1=2」は数式としては、量子力学上でも100%正しい。

この問題を考えるには、色々こんがらかった概念を解きほぐして行く必要があるようです。

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