電磁石(ソレノイドコイル)と永久磁石間の磁力(吸引・反発)はどう表されるか？

Question

電磁気の基礎がわからなくなり困っています！！


●以下の図のように永久磁石がS極が上を向いた状態で置かれ、一方でソレノイドコイルによる電磁石が、S極が下を向くように電流を流すと、これらは磁石ですから反発しますよね？　　

電磁石の、距離z離れたところにおける磁界をH1(z)、永久磁石の距離離れたところに置ける磁界をH2(z)とした場合、両者間の力はどう表現できるのでしょうか？


●また、電流iによりその力はコントロールできると思うのですが、磁力Fをiで以てどうかけるのでしょうか?


●一般に言われる、二つの磁性体間に働く力の式、
F=(1/2)μ*(H^2)*Area
の式のHは何を指すのでしょうか? 　本件の設定でH1+H2なのでしょうか？  それとも実はH^2=H1*H2なのでしょうか？


磁気浮上の制御で必要なため、切に悩んでいます！
できるだけ詳しい説明を頂けるとありがたいです！！！

_takuan_ · Accepted Answer

モデルが簡素すぎたということでしょうね。
　今回私は、電磁石と永久磁石の距離が十分近いとし、双方の磁荷から出る磁束の分布を、球対称として考えました(点電荷の分布と同じです)。しかし、実際にできる磁束はループ状になっていて、前方方向には極端に減衰していくことが考えられます。実際にやったことはないのですが、シミュレーションをすると、r^(-4)で減衰していくのでしょうね。経験が物を言う世界とはこのことです(笑

　加えて言いますと、先では双方を点磁荷と見なして計算しました。しかし、実際に扱う装置には有限の大きさがあり、先の数式は成立しないと思われます。やはり実際に実験を行い、物理パラメータを求めるのが手っ取り早い上、正攻法なのかもしれませんね。

_takuan_ · Answer

「重力場」という単語は既に使用されているようですね（汗。
問題ないとは思いますが、混同しないように「重力界」とでも読み替えて下さいｗ。

_takuan_ · Answer

双方とも距離の２乗に反比例でよいと思います。磁荷にかかる力は、
　　　　F＝qH
で表わされるので、永久磁石―電磁石の場合は、相手側の磁界にのみ線形依存します。

万有引力に置き換えてみれば、納得できると思います。
地球の質量をＭ、地上にあるリンゴの質量をｍとすれば、地球が作る重力場は、(一般的でない考え方ですが(笑))
　　　　Ｋ＝－ＧＭ/r^2　[＝重力加速度g　(r＝地球半径の時)]
となります。同様に、地上のリンゴも重力場
　　　　Ｋ'＝－Ｇｍ/r^2
を作りますが、リンゴが受ける万有引力Ｆは、明らかに
　　　　Ｆ＝ｍＫ　(＝ＭＫ')
であり、片方の重力場にのみ線形依存し、距離の二乗に反比例します。この例は、先に議論した磁界の話と表裏一体の関係にあり、磁力も、片方が作る磁界にのみ線形依存するのです。蛇足ですが、対応関係は次のようになっています。
　　　　重力場Ｋ⇔磁界Ｈ
　　　　質量ｍ⇔磁荷q

_takuan_ · Answer

(永久磁石化していない)磁性体の場合は、エネルギー方面からの考察が有効なようです。
予備知識として電場について。計算は省きますが、コンデンサが作る電界が単位体積に蓄えるエネルギーE、及びコンデンサの極板すなわち「電荷を持った導体」にかかる単位体積当たりの応力fは次のようになります。
　　　　E＝εE^2/2　[J/m^3]
　　　　f＝εE^2/2　[N/m^2]
よって、極板にかかる力Fは、
　　　　F＝∬εE^2/2　dS　[N]
ですね。
電磁波の計算過程で導かれる内容なのですが、実は磁場のエネルギーについても同形の数式が導かれまして、「磁荷を持った磁性体」にかかる力は、
　　　　F＝∬μH^2/2　dS　[N]
となるようです。H∝I,r^(-2)　なので、H^2dS∝I^2,r^(-2)　になると思われます。厳密に計算するには計算機様の力を借りる必要がありそうですが、実験によりパラメータを求めるのであれば問題ないでしょう。

先の回答との矛盾については、(永久磁石化していない)鉄球の場合は、外部磁界によって磁荷が変動するので、q(H)∝H　？　となって、FにはH^2の成分が発生するという解釈でもいいかもしれませんね。(挙げて頂いた論文には磁気飽和、ヒステリシスはないと仮定されているので、単純比例と考えて問題ないでしょう。)

_takuan_ · Answer

(2)が間違っておりました。申し訳ない（汗

ソレノイドの「中心に」できる磁界は
　　　　H3(z+L/2)　＝　IN/(　√(L^2+a^2)　)　　(∝　I)
で、「電磁石のＳ極」に出来る磁荷q''が
　　　　q''　＝　-2πμH3(z+L/2)*(L/2)^2
となります。中心の磁界を考えたので、ＮＳ両方の磁荷を考慮し、２で割られております。結果、F＝q''*H1(z)となります。

_takuan_ · Answer

(1)
　古い考え方ですが、磁荷による考察が有効です。
永久磁石の両極が十分離れている場合、上向きを正とすると、Ｓ極から発生する磁界H1は次のようになります。(電磁石も存在しない場合です)
　　　　H1(r)　＝　-q/(4πμ'*r^2)　　[μ'(空気の透磁率)　q(永久磁石の磁荷)]
よって、任意の点(r=h)におけるH1より、磁荷が逆算できます。
　　　　q　＝　-4πμ'H1(h)*h^2
以上より、磁荷qが電磁石が作る磁界H2から受ける力は　F＝q*H2(0)　で求められます。
作用反作用の法則より、同じ力が電磁石にも加わるので、Fと重力が釣り合う点で、電磁石が静止すると思われます。

(2)
　一般に、H∝Iというルールがあります。
今回の場合、電磁石のＳ極表面(z=z?)に出来る磁界H2は
　　　　H2(z)　＝　μIN/(　2μ'*√(L^2+a^2)　)　　(∝　I)
　　　　　　　　　　μ　(磁性体の透磁率)
　　　　　　　　　　N　(巻き数)
　　　　　　　　　　L　(ソレノイドの長さ)
　　　　　　　　　　a　(磁性体断面の半径)
となります。手計算なので、鵜呑みにしない方がいいと思います。
先程と同じ考え方で、鉄芯の中心にマイナス(S極なので)の磁荷q'が存在すると考えれば、次のように求まります。
　　　　q'　＝　4πμ'H2(z)*(L/2)^2 　(∝　I)
よって、両者間に発生する力は、F＝q'*H1(z)です。(1)の考え方を逆にしただけですね。

(3)
　F=(1/2)μ*(H^2)*Area
ごめんなさい。私の知らない数式です（涙

電磁石(ソレノイドコイル)と永久磁石間の磁力(吸引・反発)はどう表されるか？

モデルが簡素すぎたということでしょうね。

「重力場」という単語は既に使用されているようですね（汗。

双方とも距離の２乗に反比例でよいと思います。

この回答への補足

(永久磁石化していない)磁性体の場合は、エネルギー方面からの考察が有効なようです。

この回答への補足

(2)が間違っておりました。

(1)

この回答への補足

似たような質問が見つかりました

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

　モデルが簡素すぎたということでしょうね。