正弦と余弦の素朴な疑問（やや難）

△ＡＢＣにおいて次のものを求めよ。
１Ａ＝６０°、a=√１９、b=５、c=３のときの残りの角を求めよ。
という問題で、正弦定理を使って残りの角を求めたんですが、
２通り答えがでました。 しかし、方、一方は三角形の性質である、
最大角の対辺は必ず、最大角という条件に不適だったため、答えから外れました。
正弦・余弦で求められた答え（正のみ）は必ず正しいと思っていました。
先生は 正弦定理で求めた場合は、０～180°の範囲で２通りの解（９０ど以外の場合）が出てきますので、不適な解を除外しなければなりません。
（例） sin∠A＝1/2 のとき ∠A＝30°または150°
しかし、余弦定理で求めた場合は、０＜θ＜180°の範囲で cosθ とθは一意の関係にありますので、不適な解が出てくることはありません。
と説明してもらいました。
ですが、なぜ正弦では不適な角度が出るのに、余弦では必ず満たした角が求められるのでしょうか？？
証明可能でしょうか？？

簡単でないことは重々承知しております。
どなたか詳しい解説をしていただきたいです。
お願いします

No.1 回答者： yaki_29_u 回答日時： 2009/12/24 20:50

簡単です。

cosθ： ０＜θ＜180°の範囲で、一対一の写像関係にある関数。
　　　　　ある値が与えられれば、それに呼応する角度が得られる。

sinθ ：０＜θ＜180°の範囲で、一対一の写像関係には無い関数。
　　　　　ある値が与えられた時には、0、90、180をぬかして
　　　　　呼応する角度が二種類現れるため。

関数をそれぞれ書いて下さい。
y=sin(x)
そして、y=bとなる関数を書いて下さい。
二つの関数の交点が求める答えです。y=0あるいは1以外では
かならず二つの交点が見出されます。

さらなる知識

http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansu …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_ …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98% …

No.2 回答者： fjnobu 回答日時： 2009/12/24 21:00

カーブを書けば分かるでしょう。

No.3 回答者： noname#108210 回答日時： 2009/12/24 21:13

（証明　やや難）

クリスマスケーキが半円状に半分残っています。
このケーキを，直径に平行に切ると，クリームの付いたケーキの縁が２カ所あたります。
これが，正弦の値。
でも，直径に直角に切ると，クリームのついたケーキの縁は１カ所です。
これが，余弦の値。
ゆえに，正弦を使うと，２個の解がでます。余弦を使うと１個だけです。
（証明終わり）
これで，如何でしょうか？(^_^;)

No.4 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/25 02:39

具体的な三角比の問題というより、

不適解というものの捉え方に難がある
のではないでしょうか。

sinθ にせよ、cosθ にせよ、
三角関数の値が与えられたとき、
対応する θ の値は、無限個あります。
質問文に「(正の)」と書いているところを見ると、
そのことには気づいていますね？

負の角度を「不適解」として捨てるのも、
鋭角または鈍角の一方を「不適解」として捨てるのも、
理屈は全く同じです。

ピンと来なければ、教科書で、
「必要条件」「十分条件」について
調べてみるとよいでしょう。