高校数学の問題です。

友人から聞いた問題なのですがまだわかりません。

問題：(１)三次方程式ｘ＾3-2ax＾2+bx-c=0(a、b、cは自然数)は相異なる３つの素数解を持ち、b>cである。a、b、cを求めよ。

(２)四次方程式ｘ＾4-2px＾3+qx＾2-rx+2s=0(p、q、r、sは自然数)は相異なる3つの素数解のみを持ち、ｒ<3(q-4p+4)を満たす。p、q、r、sを求めよ。

数学が得意な人お願いします！

No.7 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2010/02/05 15:08

1問目は多くの人が答えておられますので、2問目のみ書きます。

解が3つということですので、重解が一つあるということですから
3つの解をα, β, γとし、αが重解、β<γであるとします。

解と係数の関係より

　　　2α+β+γ=2p　　　　　　　　　　　…（1）
　　　α^2+2αβ+2αγ+βγ=q　　　…（2）
　　　(α^2)β+(α^2)γ+2αβγ=r　…（3）
　　　(α^2)βγ=2s　　　　　　　　　　　…（4）

(1)より、β+γは偶数ですから、βとγはともに奇数か、ともに偶数ですが、
相異なる素数という条件より、ともに奇数です。
(4)より、α、β、γのうち少なくとも一つはは偶数ですが、βとγは奇数
ですから、αが偶数、すなわち、α=2だと分かります。
これを(1)～(4)に代入すると、

　　　4+β+γ=2p　　　　　　　…（5）
　　　4+4β+4γ+βγ=q　　…（6）
　　　4β+4γ+4βγ=r　　　…（7）
　　　4βγ=2s　　　　　　　　…（8）

ｒ<3(q-4p+4)にこれらを代入すると、

　　4β+4γ+4βγ<3((4+4β+4γ+βγ)-2(4+β+γ)+4)　

これを整理して

　　βγ-2β-2γ<0
　　∴　(β-2)(γ-2)<4

これを満たす相異なる奇数の素数β、γの組は

　　　β=3、　γ=5

しかありません。これらを(5)～(8)に代入すると、

　　p=6, q=51, q=92, s=30

No.13 回答者： CAMPANELLE 回答日時： 2010/02/06 23:15

No12です

投稿時の記号自動変換によって、（）がかぶってしまっています
半角の「(1)」などは回答中に出てきた式を、全角の「（１）」などは与式を指します

ただでさえ冗長な文章な上に、さらに見難くなって申し訳ありません

No.12 回答者： CAMPANELLE 回答日時： 2010/02/06 23:10

mister_moonlightさんの解法に補足をしておきます

この解法は、（２）の方程式を
　（１次式）*（３次式）＝０　――(1)
と変形したときに、上式の「（３次式）＝０」がα、β、γを解にすることを前提としていますが、この（３次式）が（１）と一致することは分からないので、少し早計なように思えます
ですが、段階式になってることから（１）を利用できる、というのは注目点ですね
「解と係数の関係」を用いれば、（２）も（１）と「似たような」操作をすることで解答へ至りますが、実はあることに気付けば（１）をそのまま利用できます

通常は「解と係数の関係」を用いた後、一気に「重解が２である」ということまで言えるのですが、（１）を利用しようと考えるなら、(1)の形へ変形したいところです
よって、「素数２」が解であることを導いたのち、その条件を定式化するために因数分解をします
非常に複雑な式になりますので、「方程式の筆算」で割り算をしました

｛(2)の４次式｝＝（x - 2）｛(x＾3) - 2A（x＾2） + Bx - C｝ ＋　D　――(2)

ただし、式の簡略化のため
A ＝ p-1
B ＝ q-4p+4　――――-(3)
C ＝ r-2q+8p-8　――(4)
D ＝ 2s-2r+4q-16p+16
と表記してます

さて、(2)は「x=2」で割り切れるはずですから、D＝０となります
また、(2)のように表記すれば気付くと思いますが、３次式のほうは（１）と同じ形の式になっています
A、B、C、Dが自然数であることはこの時点では言えませんが、「解と係数の関係」を用いた際、自然数である素数の積や和になってることから、自然数であると言えます
また、(3)と(4)を用いて変形すれば
「r<3(q-4p+4)　⇔ B>C」
となりますので、（１）に一致します

よって、（１）と同様にして因数分解すれば
　　｛(2)の４次式｝＝（x-2)(x-2)(x-3)(x-5)
となるはずです
あとは展開してp、q、r、sを求めるだけですね

（１）の利用を考えると、作問者はこれを意図していたのかもしれませんが、非常に煩雑な計算です
素直に「解と係数の関係」をフル活用して他の皆さんの先述の解法をとるのが最善と思われます

この回答へのお礼

今日問題を聞いた友人(高三生)に会ったのですが、実は自分で作った問題だったそうです…

解答を聞いたところ、CAMPANELLEさんの解き方そのままでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 21:08

No.11 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/05 15:35

又、やった。

計算ミス。。。。。ｗ

（誤）
(1)　2が重解の時、p＝7でqもrもsも具体的に求められるから、ｒ＜3(q-4p+4)を満たすものを探すと良い。
(2)　3が重解の時、p＝8でqもrもsも具体的に求められるから、ｒ＜3(q-4p+4)を満たすものを探すと良い。

（正）
(1)　2が重解の時、p＝6で、解と係数から、qもrもsも具体的に求められるから、ｒ＜3(q-4p+4)を満たす事を確認すると良い。
(2)　3が重解の時、p＝13/2から不適。

No.10 回答者： momordica 回答日時： 2010/02/05 15:29

＃7です。

すみません、書き間違いです。

×　　p=6, q=51, q=92, s=30
　　　　　　↓
○　　p=6, q=51, r=92, s=30

No.9 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/05 15:29

面倒な事するね、問1を使えば良いのに。

段階式になってるから、出題者もそのつもりだろう。

4次方程式＝（1次式）*（3次式）＝0だから、題意を満たすには、問1から、α、β、γのいずれかが重解を持つと良い。

(1)　2が重解の時、p＝7でqもrもsも具体的に求められるから、ｒ＜3(q-4p+4)を満たすものを探すと良い。
(2)　3が重解の時、p＝8でqもrもsも具体的に求められるから、ｒ＜3(q-4p+4)を満たすものを探すと良い。
(3)　5が重解の時、p＝15/2　から不適。

続きは、自分でやって。

No.8 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/05 15:27

#2です。

(2)は、momordicaさんと同じになりました。
結局のところ、「係数の 2」がキーポイント（ここから、最小解が 2に決まる）だったということですね。
整数問題としては、問題自体はシンプル（な方）ですし、よく使うテクニックも出てくるので悪い問題ではないと思います。

・和や積が「偶数」や「奇数」であることからの絞り込み
・(β-2)(γ-2)＜ 4 といった整数積への変形

No.6 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/05 14:38

書き込みミス。

。。。。。ｗ

（誤）この時、a＝10、b＝31、c＝30
（正）この時、a＝5、b＝31、c＝30

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/02/05 14:35

問2の4次方程式は問1の応用に過ぎない（重解があるから、結局は3次方程式に還元される）から、問1の3次方程式だけを解いておく。

こういうときは、幾つかの解を試してみると良い。

3つの解をα、β、γとする。但し、α＞β＞γ≧2とする。
b＞cから、αβ＋βγ＋γα＞αβγ　‥‥(1)
α≧6とすると、β≧3、γ≧2　から　αβ＋βγ＋γα≧36、αβγ≧36.
α≧7とすると、β≧3、γ≧2　から　αβ＋βγ＋γα≧41、αβγ≧42　となって(1)に反する。
従って、α＜7であるから、（α、β、γ）＝（5、3、2）。
この時、a＝10、b＝31、c＝30.

No.4 回答者： 112233445 回答日時： 2010/02/05 14:35

訂正（１）解が２，３，５だから、(a,b,c)=(5,31,30)