相似の問題がわかりません

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質問者：33033_1
質問日時：2010/04/02 22:02
回答数：2件

相似の問題がわかりません。
困り度：
すぐに回答を！写真のように一辺の長さが１２cmの正方形ABCDがある。E、Fは辺AB上の点でAE＝EF＝FBであり、G、Hは辺DC上の点でDG＝１／２GH＝HCである。またP、QはそれぞれEHとFG、EHとBGとの交点である。
（１）EHの長さを求めよ
（２）PQの長さを求めよ。
（３）四角形PFQBの面積を求めよ

この問題がわかりません。
わかるかた求める式も一緒に教えてください。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： oNiOnEg39
回答日時：2010/04/03 00:24

本当は対話形式で一つ一つ確認しながらやっていくのが理解には一番なんですがね…

条件に次のように記号を付けて説明していきます。
E、Fは辺AB上の点でAE＝EF＝FBであり、…[1]
G、Hは辺DC上の点でDG＝１／２GH＝HCである。…[2]
(1)
EHを斜辺とする直角三角形を考えれば求められますね。
点Hから辺BCに平行な直線を引き、辺ABとの交点をRとおきます。
RHは明らかに12cmですね。
[1]より、
AEの長さは4cmであり、
[2]より、
DG:GH:HC=1:2:1なので、HCの長さは3cmです。当然RBの長さも3cm。
すると、ERの長さが分かりますね。12-4-3=5cm。
これで三角形ERHの2辺の長さが分かりました。
あとは、三平方の定理を使って、
EH=√(12^2+5^2)=13
12^2は12の2乗の意味です。

(2)
(1)で求めたEHの長さと、相似を使います。
EFとGHが平行なので、三角形EFPと三角形HGPが相似なのは分かりますね。
[1]より、EFが4cm、[2]より、GHが6cmと分かるので、相似比は2:3です。
したがって、EP:HP=2:3と分かります。…[3]
次に、EBとGHが平行なので、三角形EBQと三角形HGQが相似です。
さっきと同様に、EQ:HQ=EB:HG=8:6=4:3…[4]
さて、[3],[4]の比から、
EP:HP=2:3=14:21
EQ:HQ=4:3=20:15ですね？
このことから、EP:PQ:QH=14:6:15と分かります。
したがって、
PQ=13*(6/35)
　=78/35

(3)
四角形PFBQですよね？
…と、ここまで書いたところで、ItachiMasamuneさんに気付きました。
はい、この通りです。
(2)で出した相似比から、三角形QEB、三角形PEFの面積を求めて、その差を出すだけです。

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この回答へのお礼

（１）はわかりました。
（２）のEP:HP=2:3=14:21
　　　EQ:HQ=4:3=20:15
なんでここで１４：２１と２０：１５になるのか、
PQ=13*(6/35)←３５はどこからでてきたのかを教えてください

（３）はItachiMasamuneのではよくわからないので解説してもらえますか？

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お礼日時：2010/04/03 01:01