正八角形についてです。 ３個の頂点を結んでできる三角形で、元の八角形と辺を共有しないものはなん通りか

正八角形についてです。

３個の頂点を結んでできる三角形で、元の八角形と辺を共有しないものはなん通りか。

この問題最初は8C3で56通りと思ってたんですが、答えは16通りとなっています。共有する辺が入っているから答えが違っていたのだと分かりましたが、計算方法がわかりません。教えてください。

No.4 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2019/04/05 14:26

まあ、全ての三角形５６通りから辺を共有する三角形を引くとすれば、

１辺を共有する三角形は、辺一つに付き４種類なので、８×４＝３２
２辺を共有する三角形は、８通り。
したがって、辺を共有しない三角形は５６－３２－８＝１６通り

真っ向から計算すると、
八角形をＡＢＣＤＥＦＧＨとすると、頂点をＡを含んだ辺を共有しない三角形を作るには、
Ｃ～Ｇの頂点から並びあわない２つの頂点を選べばよいので、
ＣとＥ，ＣとＦ、ＣとＧ，ＤとＦ、ＤとＧ、ＥとＧの６通りがあります。
これが８つの頂点で起きるので、６×８＝４８通りとなりますが、
三角形なので、３重に数ええられているので、４８÷３＝１６通りとなります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/05 00:05

正八角形の頂点を P1,P2,…,P8 とする。

P1 を頂点に持つ三角形を考えると、
あと２個の頂点は P1 と隣り合ってはいけないから
P2,P8 を除いた P3,P4,…,P7 から選ぶことになる。
P3,P4,…,P7 から２点選ぶ組み合わせは 5C2通りだが、
そのままでは、あとの２点どうしが隣り合う場合も含んでしまうので、
P3,P4,…,P7 から隣り合う２点を選ぶ組み合わせ 4通りを除いて
５C2 - 4 = 6 通り。 これが P1 を頂点に持つ三角形の数になる。

最初に固定する頂点を P1,P2,…,P8 と動かすと総数は 6×8通りだが、
この数え方は、例えば三角形 P1P3P5 を P1 を持つ三角形、
P3を持つ三角形、P5を持つ三角形と３回数えているから、
重複を除くために３で割って、答えは 6×8÷3 = 16通り。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/04/04 23:15

全部数え上げればおしまい。

頂点に1~8の番号をぐるりと付けると、
正八角形の上で隣あわない3頂点の組み合わせは
小さい順に番号を3個選んで、3桁の正数として
小さい順に並べると

135,136,137,146,147,157,
246,247,248, 257,258,268,
357,358,368, 468

16通り。

No.1 回答者： nouble1 回答日時： 2019/04/04 23:03

数学的記述法は　忘れたのですが、

時計で　言う所の、
12時を　0、
1時半を　1、
3時を　　2、
4時半を　3、
6時を　　4、
7時半を　5、
9時を　　6、
18時半を 7、

と　すると、


0から　放って、
となりば　駄目ですから、
放ち先は　8-3箇所で、

おまけに、
隣り合ったら　駄目なので、
上記から　4通りを、
省かなければ　なりません、

次に、
1から　放つのですが、
此は未だ　同数、

２から　放つ時以降には、
進むに　連れ、
一組ずつ、
重複組が　増えるので、
2→3→4と　進むに、
連れ、
一組ずつ　減らしていきます。


0から　放つ時、
(8-3)P2-4

1から　放つ時、
(8-3)P2-4

２から　放つ時、
(8-3)P2-4-1


確か　こういう感じだったと、
思いますよ。


間違えていたなら　ご免なさいね。