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xy=4のとき、x^2+y^2の最小値を求めよ。
という問題で、
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

(x+y)^2≧0だから

最小値 -2*4=-8

としたんですが解答冊子を見ると相加平均を使って、最小値8でした。
なぜ上のは間違いなのでしょうか?さっぱりわかりません。教えてください。

A 回答 (4件)

質問の解き方では、(x+y)^2≧0 だから (x+y)^2=0 のとき最小値をとると考えられたと思いますが、このときはx+y=0 なので xy=4 にはなりません。

(足して0かけて4になる2実数がありますか?)

xy=4 から y=4/x (x≠0)として代入し、x^2+y^2=x^2+(16/(x^2)) ここで x^2=t とおくと t>0なので相加・相乗平均の関係が使えて、
 与式=t+(16/t)≧2√(t×(16/t))=2√16=8 となります。
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この回答へのお礼

なるほど、分かりました!どうもありがとうございます!

お礼日時:2010/04/18 18:53

xとyが複素数でないなら、xの2乗は必ず正。

yの2乗も必ず正。
正と正を足すからx^2+y^2も必ず正になるのに、負の数を答えとしてる時点でおかしいかと。
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この回答へのお礼

その点は確かにおかしかったです。まずそこに気づくべきでした。

お礼日時:2010/04/18 18:50

最小値 -2*4=-8と考えたということは、そのときx+y=0だと思っているわけでしょう。


xy=4のとき本当にx+y=0になると思う?
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x+y=0 と xy=4 を同時に満たす実数の組 x,y が存在しないからです。

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