結合振子の固有角振動数

結合振子の固有角振動数

図の2つの振子は互いに等しい固有振動数をもっていて、
2つの振子が結合した連成振動の固有振動は単一振子の固有振動数から変化するそうです。
ここで、ω0=√(g/L),ωc=√(K/M)をそれぞれ、
単一の振子、振子を結合するバネと1つの質量M〔kg〕による振動系の固有角振動数とすれば、結合された振子による連成振動の固有角振動数は
ω1=ω0
ω2=√{(ω0^2)+(2ωc^2)}
の2つの振動数として求められる事になる、らしいんですが、このω1,ω2の導出方法を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/05/05 09:36

下記が参考になると思います。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/362.html

また，規準振動（モード，２つの振子が同じ振動数・位相でいっせいに振動する）の振動数が固有振動数に当たりますから，

x1 = A1cos(ωt+α)
x2 = A2cos(ωt+α)

などとおいて，運動方程式に代入して求めるのが一般的です。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/354.html
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/370.html

この回答への補足

回答ありがとうございます。1部分以外は理解できました。
恥ずかしながら、その1箇所も補足させていただければ・・・

最初の運動方程式で、聞きたい事があります。
k(xb-xa)についてなんですが、
xaの式では、右に引っ張られているから＋、xbの式では左に引っ張られているから-、という認識でいいんでしょうか。
あと、何故xa,xbどっちの式でも、k(xb-xa)となっているのでしょう？
対象が変わったら、k(xa-xb)のようになるかと思ったのですが・・・

回答頂けると助かります。

補足日時：2010/05/05 17:32

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/05/05 19:21

>k(xb-xa)についてなんですが、

xaの式では、右に引っ張られているから＋、xbの式では左に引っ張られているから-、という認識でいいんでしょうか。

仮にxb>xa>0と考えてみてください。すると，xb-xa　はばねの「伸び」になります。このとき，左の質点はばねから右に引かれ，右の質点はばねから左に引かれます。したがって，
左の質点がばねから受ける力　+ k(xb - xa)
右の質点がばねから受ける力　- k(xb - xa)
となります。では，xb　と　xa　の大小関係や符号が変わった場合はどうなるか？　たとえば，xa>xb>0ならばばねは縮んでいるから…など。　これは，宿題として考えていただきましょう。結局，すべての場合について上の表現で間に合うことが確認できると思います。変位xa，xbの方向に対して力方向がきちんと正負で表わされていればよいわけです。すべての場合について検討する必要はもちろんなく，ひとつの場合に正しければすべての場合に成り立つことは，「ベクトルの性質」として保証されているのです。ためしに，変位と力をきちんとベクトルとして表記して，書いてみてください。その成分をとったものが，ここで問題となっている運動方程式なのですから。

ちなみに，-k(xb - xa) = +k(xa - xb) と書き換えてもまったく問題ありません。もし，xa>xb>0 ならば上に書いたように，ばねは縮んでいることになり力の向きが伸びている場合と逆になりますが，ちゃんと「自動的に」符号が変わりましたね？