Σ[k/10]の和が初めて2010を超えるのは、kがいくつのときでしょ

Σ[k/10]の和が初めて2010を超えるのは、kがいくつのときでしょうか

No.1 回答者： inara 回答日時： 2010/06/05 17:08

Σ[k/10] というのは Σ[ k = 1 ～ n ]k/10 の意味だと思いますが、Σ[ k = 1 ～ n ]k が (1/2)*n*( n + 1 ) というのを使えば

　　　Σ[ k = 1 ～ n ]k/10 = (1/20)*n*( n + 1 )
なので
　　　(1/20)*n*( n + 1 ) > 2010
を満たす最小の整数 n 求めることになります。(1/20)*m*( m + 1 ) = 2010 の解 m を少数で求めて、それを超える最小の整数が n になります。m は整数になるかもしれませんが、n = m では超えたことにならないので、その場合の n は m の次の整数になります。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/06/05 17:36

こんにちわ。

考え方は、#1さんが示されているとおりですね。
あと、このまま変形をすると、
n* (n+ 1)＞ 40200

という 2次不等式になります。
これを解いて、不等式を満たす整数を探すことになりますが・・・。

少し楽な方法を。
右辺は nも n+ 1も 1違いなので、n^2にほとんど同じと考えてみます。
左辺もだいたい 40000と考えれば、nのだいたいの大きさがわかりますね。

あとは、少しずつ値を変えて、不等式を満たす値を探せばよいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/05 18:47

Σ[k=1,n] (k/10)=(1/10)Σ[k=1,n] k =n(n+1)/20

求めるの正整数kをnとすると
Σ[k=1,n-1] (k/10)≦<2010＜Σ[k=1,n] (k/10)
(n-1)n/20≦2010＜n(n+1)/20
n^2-n≦40200＜n^2+n …(▲)
これを満たす正整数nを求めれば良い。

n^2-n≦40200から
n^2-n-40200≦0
n>0より 0<n≦{1+√(1+4*40200)}/2=201　…(◆)

40200＜n^2+nから
n^2+n-40200＞0
n＞0より n＞{-1+√(1+4*40200)}/2=200.99 ...　…(●）

(▲)を満たす正整数解は（◆）と（●）を同時に満たす正整数であるから
n=201

答え）k=201のとき

この回答へのお礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

お礼日時：2010/06/06 11:58