代数の環の分野の問題です

代数の環の分野の問題です

環Ｒが与えられたときＭｎ（Ｒ）をＲの元を成分にもつｎ字正方行列全体の集合とし、

行列の加法、乗法を通常のように定義すると
Ｍｎ（Ｒ）はまた環であり一般にｎ≧2のとき非可換であること

を示したいです

教えてください
お願いします

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/12 23:13

(1) 環の定義を構成する公理群を、思い出す/講義ノートで探す/代数の教科書を引く

　　などの方法で確認し、全て書き出す。(ネット検索は不可)
(2) 行列の通常の加法・乗法を、思い出す/高校の参考書で探す/線型代数の教科書を引く
　　などの方法で確認し、書き出す。(ネット検索は不可)
基礎環 R が (1) を満たすことを材料に、(2) で定義される行列環 Mn(R) が
(1) の各公理を満たしていることを、ひとつひとつ確認する。

地味で分量の多い作業です。根気よく行ってください。
実際にやってみて、この公理だけは何でか示せねぇ…というのがいくつかあれば、
できた部分を補足に書いた上で質問しなおすとよいでしょう。そのときは付き合います。


No.1 でツッこまれている「一般に」は、日常の日本語と数学語とで全く意味が違うので、
これを機会に覚えとくとよいです。日常会話の「一般に～」は、「～であることが多いが
例外もある」という意味で、むしろ例外があることを暗に強調する言い方ですが、
数学語の「一般に～」は、「常に例外なく～が成り立つ」という意味です。

貴方の「一般に非可換」は、日常語の用法に近く、数学語では「一般に可換な訳ではない」
とか「非可換な場合もある」とか言うべきところです。それを示すには、
非可換な Mn(R) の例を、何かひとつ挙げて見せれば十分です。探してみましょう。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/06/12 14:24

「一般に非可換」とはどのような意味かを補足にどうぞ。