No.1ベストアンサー
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S(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])].
R(X,Y)=S(X,Y)/root{V[X]V[Y]}.
ヘルダー(or シュワルツ)の不等式。
E[(X-E[X])(Y-E[Y])]^2
≦E[(X-E[X])^2]E[(Y-E[Y])^2]
=V[X]V[Y].
R^2(X,Y)
=E[(X-E[X])(Y-E[Y]]^2/V[X]V[Y]
≦1.
Y=aX+b.
V[Y]
=E[(X-E[X])^2]
=E[(aX+b-aE[X]-b)^2]
=a^2E[(X-E[X])]
=a^2V[X].
S(X,y)
=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
=E[(X-E[X])(aX+b-aE[X]-b)]
=aE[(X-E[X])(X-E[X])]
=aV[X].
R(X,Y)
=S(X,Y)/root{V[X]V[Y]}
=aV[X]/root{V[X]a^2V[X]}
=1.
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