次の値を求めよ。（どうしてその結果が得られるのかを説明すること。）

次の値を求めよ。（どうしてその結果が得られるのかを説明すること。）
(1)cos(π/11)+cos(3π/11)+cos(5π/11)+cos(7π/11)+cos(9π/11)
(2)cos(2π/11)+cos(4π/11)+cos(6π/11)+cos(8π/11)+cos(10π/11)
どうやったらいいのか分からないのでくわしく教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： pascal3 回答日時： 2010/08/26 19:50

私が出題者なら、こんな山のような計算をしている答案はだいぶ原点しますよ。

問題の趣旨を見抜いてください（というか普段からまじめに課題をやっていたら出題者の意図は分かりそうなもの）。 さらに言えばネット掲示板で他人に計算をさせていることが発覚した時点で落第モノですが。

出題者の意図に沿った形で、なるべく余計な計算をせずに答えを出すには：
単位円に内接する正11角形を描いて図形的に考えます。
「すべての頂点の座標を足すとゼロになる」のは明らかです。
つまり
(x1,y1) + (x2,y2) + … + (x10,y10) + (x11,y11) = (0,0) … (☆)
与えられた式と（☆）との関係を見抜けるかどうかが勝負ですが、その関係を見抜けるかどうかは、公式を調べるとか覚えるとかいう話じゃなくて、日頃の課題に対する御手洗景子さんご自身の取り組みの姿勢が問われていると思います。

上記の説明で「??」と思った場合は、たとえば円に内接する正3角形とか正5角形とかを例に、正n角形の頂点の座標とcosとの関係を見直してください。 とにかく重要なのはsinやcosの図形的な意味を自分で理解することでしょう。

No.5 回答者： proto 回答日時： 2010/07/08 22:16

＞どういう風に公式が導き出されて，どんな公式が，出てくるといいのでしょうか？

導出の手順は全て示しました。
それをただ計算するだけで公式の全体は見えて来ると思います。


　　x = Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))}
と置きます。
両辺にsin(d/2)を掛けると、
　　x*sin(d/2) = sin(d/2)*Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))}
　　　　　　　 = Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))*sin(d/2)}

積和の公式、
　　sin(α)*sin(β) = -(cos(α+β)-cos(α-β))/2
より、
　　x*sin(d/2) = Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))*sin(d/2)}
　　　　　　　 = Σ[k=1~n]{-(cos(a+d*(k-1)+d/2)-cos(a+d*(k-1)-d/2))/2}
　　　　　　　 = Σ[k=1~n]{-(cos(a+d*(2k-1)/2)-cos(a+d*(2k-3)/2))/2}
右辺を書き下すと、
　　x*sin(d/2) = -(cos(a+d*1/2)-cos(a+d*(-1)/2))/2
　　　　　　　　　　　　-(cos(a+d*3/2)-cos(a+d*1/2))/2
　　　　　　　　　　　　-(cos(a+d*5/2)-cos(a+d*3/2))/2
　　　　　　　　　　　　……
　　　　　　　　　　　　-(cos(a+d*(2n-1)/2)-cos(a+d*(2n-3)/2))/2
　　　　　　　 = -(cos(a+d*(2n-1)/2)-cos(a+d*(-1)/2))/2
両辺をsin(d/2)で割ると、
　　x = -(cos(a+d*(2n-1)/2)-cos(a+d*(-1)/2))/(2*sin(d/2))
以上より、
　　Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))} = -(cos(a+d*(2n-1)/2)-cos(a-d/2))/(2*sin(d/2))


cosについても同様、計算すると
　　Σ[k=1~n]{cos(a+d*(k-1))} = (sin(a+d*(2n-1)/2)-sin(a-d/2))/(2*sin(d/2))
になる、はず。

No.4 回答者： proto 回答日時： 2010/07/08 12:38

一般化した式は

　　Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))} = ～
　　Σ[k=1~n]{cos(a+d*(k-1))} = ～
という形、sinやcosの中が等差数列になっていることがポイント。

両方とも適当な未知数で　
　　x = Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))}
　　y = Σ[k=1~n]{cos(a+d*(k-1))}
と置いてから両辺にsin(d/2)を掛け、
　　x*sin(d/2) = Σ[k=1~n]{sin(a+d*(k-1))*sin(d/2)}
　　y*sin(d/2) = Σ[k=1~n]{cos(a+d*(k-1))*sin(d/2)}
の右辺各項に積和の公式を適用、整理する。
最後に両辺をsin(d/2)で割れば公式が得られる。

この回答への補足

ありがとうございます。
この際，公式まで，勉強しようと思っているのですが，初歩の質問してすいませんが，どういう風に公式が導き出されて，どんな公式が，出てくるといいのでしょうか？
三角関数の級数公式を調べてみたのですが，よく分からないので教えてもらえませんか？
お願いします。

補足日時：2010/07/08 16:37

No.3 回答者： proto 回答日時： 2010/07/07 20:25

求める値を、

　　x = cos(π/11)+cos(3π/11)+cos(5π/11)+cos(7π/11)+cos(9π/11)
と置く、両辺にsin(π/11)を掛けると、
　　x*sin(π/11) = (cos(π/11)+cos(3π/11)+cos(5π/11)+cos(7π/11)+cos(9π/11))*sin(π/11)
　　　　　　　　 = cos(π/11)*sin(π/11) +cos(3π/11)*sin(π/11) +cos(5π/11)*sin(π/11) +cos(7π/11)*sin(π/11) +cos(9π/11)*sin(π/11)
右辺の各項に積和の公式を適用すると
　　x*sin(π/11) = (sin(2π/11)-sin(0π/11))/2
　　　　　　　　　　　　 +(sin(4π/11)-sin(2π/11))/2
　　　　　　　　　　　　 +(sin(6π/11)-sin(4π/11))/2
　　　　　　　　　　　　 +(sin(8π/11)-sin(6π/11))/2
　　　　　　　　　　　　 +(sin(10π/11)-sin(8π/11))/2
前後の項が打ち消し合って、
　　x*sin(π/11) = (sin(10π/11)-sin(0π/11))/2
両辺をsin(π/11)で割ると、
　　x = (sin(10π/11)-sin(0π/11))/(2*sin(π/11))
sin(0π/11)=0とsin(10π/11)=sin(π/11)より、
　　x = 1/2

(2)も同様、sin(π/11)を掛けてから積和の公式で展開、式整理すれば値が求まる。


この三角関数の級数公式、もっと一般化しても同じ手順で簡単に公式が導ける。
もちろんsinの級数についても同じようなものが求められる。
それぞれ公式の導き方くらい覚えておくと便利です。

この回答への補足

この三角関数の級数公式、もっと一般化しても同じ手順で簡単に公式が導ける。
と言うことなんですが，一般化するには，どうしたらいいのでしょうか？
教えてもらえませんか？

補足日時：2010/07/07 22:30

No.2 回答者： f272 回答日時： 2010/07/07 20:02

cos(π/11)=-cos(10π/11)

cos(3π/11)=-cos(8π/11)
cos(5π/11)=-cos(6π/11)
cos(7π/11)=-cos(4π/11)
cos(9π/11)=-cos(2π/11)
だから(1)+(2)=0になるのでどちらかが分かれば，もう片方は簡単にわかる。
そこでまず簡単な(2)の方から計算する。
cos(2π/11)=cos(20π/11)
cos(4π/11)=cos(18π/11)
cos(6π/11)=cos(16π/11)
cos(8π/11)=cos(14π/11)
cos(10π/11)=cos(12π/11)
だから
(2)=(1/2)Σ[k=1から10]cos(2kπ/11)
だけど，z=cos(2π/11)+isin(2π/11)としたときz^11=1であり，
Σ[k=0から10]cos(2kπ/11)=Σ[k=0から10](z^k)の実部=(1-z^11)/(1-z)の実部=0
だから
Σ[k=1から10]cos(2kπ/11)=-1
になる。
したがって(2)=-1/2
また(1)=1/2

この回答への補足

cos(π/11)=-cos(10π/11)
cos(3π/11)=-cos(8π/11)
cos(5π/11)=-cos(6π/11)
cos(7π/11)=-cos(4π/11)
cos(9π/11)=-cos(2π/11)
上記は，覚えておかないといけないのですね。
Σ[k=0から10]cos(2kπ/11)=Σ[k=0から10](z^k)の実部=(1-z^11)/(1-z)の実部=0
だから
Σ[k=1から10]cos(2kπ/11)=-1
のあたりは，難しいですね。

補足日時：2010/07/07 22:29

No.1 回答者： hanmemomo 回答日時： 2010/07/07 19:37

最初、等差数列と思ったけど、面白い問題だねえーこれ

ちょい、証明はできないんで、ほかの人にお願いするとして
でも、軽くおちょくった問題で、楽しめました。これ