(1/3x)＋(1/3y)=1/2を満たす正の整数の組(x,y)を全て

(1/3x)＋(1/3y)=1/2を満たす正の整数の組(x,y)を全て求めよ。
質問:参考書には解き方が2つあって「不等式の範囲を絞り込む」方法と、「整数×整数＝整数」の形に持ち込む方法はあります。2つの解き方を教えて下さい。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/21 13:32

こんにちわ。

「整数問題」と呼ばれるところでは、双方ともによく使われますね。
簡単に方向性だけを記しておくと、次のような感じです。

・「不等式の範囲を絞り込む」方法
「正である」といった条件を使うことになります。
条件式を x＝(yの式)や y＝ (xの式)と書き直して、x＞ 0、y＞ 0といった条件を使います。
こうすることで、xや yがとり得る値の範囲が絞り込まれます。

不等式を解いた後に、x＞ 0や y＞ 0といった「もとの条件」を忘れないように。


・「整数×整数＝整数」の形に持ち込む方法
いまの問題でもそうですが、半ば無理やり因数分解します。
3xy- 2x- 2y＝ 0
9xy- 6x- 6y＝ 0　（両辺を 3倍）
(3x- 2)(3y- 2)＝ 4　（両辺に 4を加えて、左辺を因数分解）

このあたりのコツは、xと yが対称である（入れ替えても式は変わらない）といったところに注意していくことになります。


別のアプローチとしては、「整数×整数＝整数」の形にしてから「互いに素である」ことを利用する方法もあります。
たとえば、
3xy＝ 2(x+ y)

3と 2は互いに素です。このことを考慮すると、
・xyは 2の倍数（偶数）である。⇒ x, yのうち、少なくとも 1つは偶数である。
・x+ yは、3の倍数である。

といったことが言えるようになります。
範囲と組み合わせて、さらに絞り込んでいくことになります。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/07/21 13:09

すぐ気がつくだろうが、書き込みミス。

(誤)　整数×整数＝整数の方法　の方法をやりたければ、(3)から　(3x-2)*(y-2)＝4　と変形して、4＝±4、±2、±1　から　(x、y)＝(4、1)、(1、4)　‥‥‥　としてやる。

(正)　整数×整数＝整数の方法　の方法をやりたければ、(3)から　(3x-2)*(y-2)＝4　と変形して、4＝±4、±2、±1　から　(3x-2、y-2)＝(4、1)、(1、4)　‥‥‥　としてやる。


整数×整数＝整数の方法でも　簡単に行くようだ。
x≧1、y≧1　から　3x-2≧1、y－2≧-1　から、(3x-2、y-2)＝(4、1)、(1、4)、(2、2)　の3通りだけだね。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/07/21 12:58

どちらの方法でも途中までは一緒。

分母を払って整理すると、3xy＝2(x＋y)　‥‥(1)　とここから分かれる。

(不等式の方法)
(1)から、3(y-2)x＝2y ‥‥(2)であるから、y≠2より　x＝2y/3(y-2)≧1　この不等式を解くと、2＜y≦6であるから、y＝3、4、5、6　。
これらを(1)に代入して、条件を満たすものを調べる。

(整数×整数＝整数の方法)
この変形はちょつと(慣れないと)面倒だが。。。。

(2)から、3x＝2y/(y-2)＝2＋(4)/(y-2)‥‥(3)
条件を満たすには、y-2が4の約数でなければならない。y-1≧0から　y-2≧-1であるから、y-2＝4、2、1。これらを(1)で調べる。

整数×整数＝整数の方法　の方法をやりたければ、(3)から　(3x-2)*(y-2)＝4　と変形して、4＝±4、±2、±1　から　(x、y)＝(4、1)、(1、4)　‥‥‥　としてやる。
でも、この問題では、この方法は面倒だな。

xとyについて平等だから、x≧y≧1と仮定する方法もあるが。。。。。。そこまではいらないだろう。