No.4ベストアンサー
- 回答日時:
運動方程式が
m d^2x/dt^2 = -k' x
であるとき、固有角振動数はω= √[k'/m]。
(a)はそのままk'=k1なので、ω= √[k1/m]。
(b)は合成系のバネ定数k'を求めるために、つりあいを考える。
両方のバネに同じ力mgがかかるので、それぞれのバネの伸びをx1, x2とすると
mg = k1*x1 = k2*x2 から x1=mg/k1, x2=mg/k2
重りの移動距離はx=x1+x2 = (1/k1+1/k2)mg=[(k1+k2)/k1k2]mg
連結したバネ全体のバネ定数をk'とすると、
mg = k'x = k' [(k1+k2)/k1k2]mg ∴ k' = k1*k2/(k1+k2)
固有角振動数は
ω=√(k'/m) = √[k1*k2/m(k1+k2)]
(c)は、それぞれのバネの自然長をl1,l2, 天井と床の距離をdとすると、天井を原点にして下向きにx座標を取ることにすると、バネから重りにかかる力は
-k1(x-l1) + k2(d-x-l2) = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d
なので、運動方程式は
md^2x/dt^2 = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d +mg = -(k1+k2)(x + A) (Aは定数)
Aが定数なのでx -> x'=x+Aという変数変換で
md^2x'/dt^2 = -(k1+k2)x'
となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]
(d)もそれぞれの自然長をl1,l2として天井を原点に取り下向きにx軸を取るとバネの力は
-k1(x-l1)-k2(x-l2)
なので、運動方程式は
md^2x/dt^2 = -k1(x-l1)-k2(x-l2) + mg = -(k1+k2)x + k1l2+k2l2 +mg = -(k1+k2)(x + B) (Bは定数)
おなじくx''=x+Bの変数変換で
md^2x''/dt^2 = -(k1+k2)x''
となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]
No.3
- 回答日時:
ちなみに
bはむずいですね。
黒丸に対して質量がないので0×d^2x1/dt^2=-k1x1-k2(x1-x2)・・(1)
マスに対して、md^2x2/dt^2=-k2(x2-x1)・・(2)
(1)よりx1={k2/(k1+k2)}×x2
これを(2)に代入して
md^2x2/dt^2=-k1k2/(k1+k2)x2
より解は、
x2=Ae^j(√{k1k2/m(k1+k2)})tですね。
No.1
- 回答日時:
運動方程式を立てなさい。
最初のx=Ae^jωtは運動方程式の解でしょう。
cはm×d^2x2/dt^2=-k1x+k2x=(k2-k1)x
ですので、解は
x=Ae^j(√{(k1-k2)/m})t
でω=√{k1-k2/m}
同様に
dは
ω=√{(k1+k2)/m}
でしょう。
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