AB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二

AB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をD、辺BCの中点をE、三角形ADEの外接円との辺ABの交点をFとする。

このときの、BDとBFの長さの求め方と長さを教えてください。

できるだけ、わかりやすい解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/28 11:48

　　　　　　A

　　　F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD：DC = AC：AB = 5：7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB：DCであることを示す。
（その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること）
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC：ABなので、BD：DC = AC：AB

最後に
7BD = 5DC.
BD + DC = 8.
これを解けばよい。

(3)「角Bを共有、角BDF　= 角BAEより、BFEとBEAは相似」よりBF：BE =　BD：BA.
まず「角BDF　= 角BAE」を示す。
これには、
「円に内接する四角形AFDEにおいて、角BAE + 角FDE = 180度」と
「角BDF + 角FDE = 180度」を用いればすぐわかる。
あとは、比を使って計算するだけです。

以上です。

この回答へのお礼

解説ありがとうございます。

BD=14/3

BF=8/3

ですね。

お礼日時：2010/07/28 16:29