超難問、角度問題です。エレガントな解法が出来ません。

下の図で、xの角度を求める図形問題です。
以前、このサイトで質問が有った図形を、焼き直して掲載します。

三角関数を使ってゴリゴリやると、答えに行く付きますが、図形を使ったエレガントな解法に至りません。

9点円を使う解法もあるのですが、とてもエレガントとは言えません。

どなたか、上手い方法を発見してご教授下さい。

質問者からの補足コメント

• 図形の基本ですが、見込む角度と、見込む長さは同じ比率にはなりません。
  下図を正弦定理に当てはめると、2/sina=3/sinb
  ∴2sinb=3sina
  
  a:b=2:3と言う主張によりa=60°、b=90°を当てはめると
  2sinb=2sin90°=2
  3sina=3sin60°=(3√3)/2
  
  =にはなりませんね。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/01/27 20:54

• ども。
  >>同一円であれば、弧の長さ等しい時、角度も等しい。
  これは正しいです。
  
  その結論に至る前段階の
  No.3様の「弦の比率は、弧の比率に等しい」と言う主張に対して、そう言う事は有りません、と言う返事をしました。
  
  下図の通り、弦の比が1:1でも、弧の比は1:1とは言えませんから・・。
  
  この問題は、相当な難問です。

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/01/28 13:19

• C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした（円周角の定理の逆)
  
  が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
  下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/02/01 09:14

• 今までの中で一番エレガントな解法でした。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/02/04 12:11

No.11 ベストアンサー 回答者： m-jiro 回答日時： 2018/02/01 14:32

#10です。

>　C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした（円周角の定理の逆)
∠ECP＝∠EFP ですからC,E,P,Fの4点は同一円の円周上にあります。
円周角の性質として
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6 …
の下の方にある「円周角の定理の逆」の項にこの説明があります。


>　が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
>　 下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。
小生②の前半ではCを使っていません。円の中心として定義したQを使っています。
その後QとCが重なることを証明したつもりなのですが・・・
要点を書くと・・・

step1　G、B、Fの3点を通る円の中心をQとします。
　∠BGFはこの円の円周角であり、角度は40ﾟです。
　ならばこの円の中心角 ∠BQFの角度は 80ﾟ です。(ここまでCは使っていません)
step2　つまりこの円の中心はB、Fから等距離にあって、80ﾟの角度を成す点です。
　この2つの条件を満たす点はCと、CをBFで折り返した点の2箇所となります。
　しかしGとの距離を考えれば後者は不適なので QはCと同一点になります。

<step2の別な証明　△BQF と △BCF の合同から導く　>
G、B、Fの3点を通る円の中心をQと決めたので BＱ＝FQ であり、△BQFは二等辺三角形です。
上のstep1より ∠BQF＝80ﾟ ですから2つの底角は共に50ﾟです。
次に△BCFで、#10の解の①より ∠CBF＝∠CFB＝50ﾟ ですから ∠BCF＝80ﾟになります。
この2つの三角形において、辺BFは共通であり、対応する3つの角はすべて等しいので両者は合同です。
すなわちQはCと重なるか、BFに対してCの対称点となりますが後者は不適です。
因ってQとCは同一点です。

如何でしょう？　気になるところがあればご指摘ください。

この回答へのお礼

C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした（円周角の定理の逆)
→これは書いてから直ぐに気がつきました。失礼しました。

△BCFが2等辺3角形になるんですね。
(弧ECの円周角が20°だからF=30+20=50°)

後は全てOKです。

これなら中学生が解ける図形問題として納得です。
もう少し別回答を待ってからBAにします。

お礼日時：2018/02/01 15:37

No.10 回答者： m-jiro 回答日時： 2018/01/31 22:53

図形問題の範囲で解いてみました。

△ABCをBCの下側に折り返す。図のように下の端を新たにPとする。
これでラングレーの整角四角形になります。旧A点は使いません。

△DBPをDPの右側に折り返す。Bの対応点をEとする。
BPとDEの延長線の交点をFとする。
BDを右に20ﾟ回転し(青の点線)、DEとの交点をGとする。
※　最終的に △GBC が正三角形であることと GD＝GC を使う。
(添付図には問題で与えられた角度から簡単にわかる角度だけ記した。)

① CB＝CFの証明(そのために△CBFが二等辺三角形であることを証明する)
EPを共通弧とすれば ∠EFP＝∠ECP なので C、E、P、Fの4点は同一円周上にある。
CEを共通弧と見て ∠CPE＝∠CFE＝20ﾟ　　因って∠CFB＝50ﾟ　となる。
この値は ∠CBF と等しい。
したがって△CBFは二等辺三角形となるから CB＝CF である。

② △GBCが正三角形であることの証明
G、B、Fの3点は同一円周上にある。この円の中心はCになるのだが、以下はその証明。
この円の中心をQとすると QB＝QF である。
弧BFから見ると ∠BGF＝40ﾟ は円周角であるからその中心角は ∠BQF＝80ﾟ である。
この2つの条件を満たす点はCと、CをBFで折り返した時の対称点の2つとなる。しかしGとの距離を考えれば前者が適する。
すなわちG、B、Fの3点を通る円の中心はCである。

∠GFB＝30ﾟ なので ∠GCB＝60ﾟ である(弧GBに対する円周角と中心角)。また ∠GBC＝60ﾟ だから △GBC は正三角形であることがわかる。

③ ∠GDCを求める
∠DBG＝20ﾟ、∠BDG＝20ﾟ なので △GDB は二等辺三角形。因って GD＝GB 。
②より △GBC は正三角形なので GD＝GC となり、△DGC は二等辺三角形とわかる。
また ∠BGC＝60ﾟ より ∠DGC＝160ﾟ とわかる。
因って ∠GDC＝10ﾟ が求まり X＝20ﾟ となる。

この解き方は　http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.h …　の下の方にある192番を参考にしました。とは言っても説明は3行しかなく解釈には四苦八苦。
とんだ難問でしたね。BやGに円を作る方法もやってみましたが途中で進めなくなりました。

この回答へのお礼

回答感謝します。
>>∠BGF＝40ﾟ は円周角であるからその中心角は ∠BQF＝80ﾟ である。

⇒これは、∠BCF=80ﾟである事が言えないと成立しません。
(弧BFに対する円周角が40°だから）

P,E,C,Fが小さな円の円周上の点で有れば、弧PFの円周角が50°なので、
∠PCF=50°。
∴∠BCF=30+50=80。

P,E,C,Fが同一円の円周上の点である事の根拠が乏しいと思います。

お礼日時：2018/02/01 05:44

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/01/29 23:21

確かに、三角関数を使ってゴリゴリやると

　DG/AG = DG/GC GC/AG = tan X / tan 60
同様に
　DG/AG = DG/GB GB/AG = tan 10 / tan 40
なので、
∴　tan X = tan 60 tan 10 / tan 40
は簡単に求まりますね。
でも、xは簡単な角度になるのですかね。
まずは、具体的にＸを教えていただけれ、その値から解法を推測できるのではと思っています。

この回答へのお礼

回答有難う御座います。
X=20°です。

お礼日時：2018/01/30 13:29

No.8 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/01/29 15:06

私は tan()の計算で求めてみました。

単純な計算ですが、手数がかかります。
関数電卓なら数秒でOKなのですが。
一応図にしました。
ポイントは同じラインに比較する角を並べることかと思います。
後は外接円、円周角で求めたつもりですが、図の通り条件があります。
複雑にならぬよう気を付けたつもりです、ご検討下さい。

この回答へのお礼

この問題に何回か回答されてますね。

下の回答図では点Fが円周上の点である事の根拠が無くて？でしたが
今回の回答は合ってます。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10198438.html

対辺へ垂線を下ろした点同士を結ぶと、元の3角形と相似になり、形が左右反対になる、・・気が付きずらい性質でした。

tan30°･tan80°=tan50°･tan70°なのでC=70°もOKです。

本当にこの問題は中学生向けなのでしょうか・・。

お礼日時：2018/01/30 15:02

No.7 回答者： Mollsuar 回答日時： 2018/01/28 15:33

できました。

またこれまでとは全く別の方法になります。
次の回答で解説します。

この回答へのお礼

Mollsuar様　感謝します。

が、三角関数や9点円の組み合わせ以外のエレガントな解法を、20年かかっても見つけられない人もいる位の難問なので、深入りしない様にお願いします。

それにしても難しいですネ～。
もう、止めませんか？？

お礼日時：2018/01/28 16:48

No.6 回答者： Mollsuar 回答日時： 2018/01/28 14:13

どもです。

別アプローチだったので、線BCについての比率は忘れてください。
弧BCについてのみの話です。

No.5 回答者： Mollsuar 回答日時： 2018/01/28 12:06

同一円であれば、弧の長さ等しい時、角度も等しい。

とかいう法則があったと思うので、比率も同様に使えるはずです。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/01/27 22:51

この本を読んでみたら？

↓
https://www.amazon.co.jp/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%8 …

No.3 回答者： Mollsuar 回答日時： 2018/01/27 21:54

別アプローチです。

こんなんどっすか？

この回答へのお礼

Aが外接円の中心なら成立しますが、そうでは無いので成立しません。

お礼日時：2018/01/28 08:24

No.2 回答者： Mollsuar 回答日時： 2018/01/27 21:00

直角三角形の場合は成立したはずです。

ちょい記憶あやふやなので間違ってたらすみません。
確か、直角三角形は比率が使えたとおもうんだよなぁ・・・。

この回答へのお礼

>>直角三角形は比率が使えたとおもうんだよなぁ・・・。

その通りです。
だから、∠BAE:∠CAE=2:3で、60°：90°で有ってます。

問題なのは、∠BDE:∠CDEも2:3とやってるところです。
ここは2:3なんかにはなりません。
補足した通りです。

お礼日時：2018/01/27 21:05