物理の近似がわかりません。

物理の近似がわかりません。
(1-s/2z)^(-2)がs/zが十分に小さいとき、1+s/zになるのが理解できません。
詳しい式変型と説明をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/31 01:33

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ...

の等比級数の和を、xが十分小さいとき
1/(1-x) ≒ 1 + x
と近似して、これを二乗すると
1/(1-x)^2 ≒ 1 + 2x + x^ ≒ 1 + 2x
これに x = s/z を代入

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/07/31 01:59

f(x)＝(1-x/2)^(-2)

として、

f'(x)=-2(1-x/2)^(-3)*(-1/2)=+(1-x/2)^(-3)
f'(0)=1

なので、f(x)をマクローリン展開すると

f(x)=f(0)+[f'(0)/1!]x + [f''(0)/2!]x^2 + ・・・
　　＝1 + x + ・・・・

なので１次までの近似で

f(x)=1+x

No.3 回答者： obstacle 回答日時： 2010/07/31 02:05

(1+x)^nはxが1よりも十分に小さいときに、1+nxと近似できます。

これは(1+x)^nを二項定理で展開したとき二次以上の項はとても小さいので無視できるとするからです。
そこで(1+x)^nにx=-s/2z,n=-2を代入すると、
sはzよりも十分に小さいことから、s/2zは1よりも十分に小さいので
(1-s/2z)^(-2)=1+(-2)(-s/2z)=1+s/zとなります。