No.1ベストアンサー
- 回答日時:
久しぶりに楽しい問題に出会いました。
底辺の長さも測れるものとします。これをcとします。
円この半径をr、中心角を2tとすると
2辺の和が円弧になるので
a+b=2tr (1)
円の中心をO,底辺の両端をA,Bとすると?OABにおいて
c=2rsint (2)
(1)/(2)より
sint/t=c/(a+b)
この右辺はa,b,cが解っているので既知、これをpとおく。すなわち
sint/t=p (3)
この問題の面白いところはこれが解析的には解けないところです。
ではどうするか。もちろん近似計算。
近似計算とバカにしてはいけません。十分な精度で答えが出ればものは作れるのです。
方法はテーラー展開
sint=t-t^3/6+t^5/120-.... (4)
正しくは無限に続きますが、5次の項まで取ります。
(4)を(3)に代入して整理すると
t^4-20t^2+120(1-p)=0
これはt^2に関する2次方程式、よって解けて
t^2=10-√(120p-20)
t=√(10-√(120p-20))
精度の確認のための例題
a=50, b=35, c=75 のとき
p=0.882353
t=0.8556646
sint=0.75522323
sint/t=0.8827172
(3)よりこれはp=0.882353に等しいはず。3桁まであってます。
tが決まれば(1)より
r=(a+b)/2t (5)
r,tが決まれば求める高さhは
h=r-rcost (6)
先ほどの例題では
r=(a+b)/2t=85/(2×0.8556646)=49.669
cost=√(1-sint^2)=√(1-0.75522323^2)=0.655467675
h=49.669-49.669×0.655467675=17.1126
この回答へのお礼
お礼日時:2010/08/12 23:09
ありがとうございます。回答が高度なので理解できません。なので検証も出来ません。xy平面上で、原点を中心とする円を使って三角関数で答えが導き出せるのかなーと思っていました。
No.2
- 回答日時:
二等辺の一辺の長さをa、底辺の長さの半分をcとします。
角度を弧度法で表す(直角をπ/2)として、弧の半径をrとすると、
r*sin(a/r) = c
となります。
これから、rをaとcで表すことが出来れば良いのですが、残念ながら、私には解りません・・・
何らかの方法で、rをaとcで表すことが出来たとして、
求める高さをhとすると、
r^2 = c^2 + (r-h)^2
が成り立ちます。
(r-h)^2 = r^2 - c^2
r-h = √(r^2 - c^2)
h = r - √(r^2 - c^2)
ということで、
r*sin(a/r) = c
でrを求めて、求めたrと、底辺の長さの半分cを、
h = r - √(r^2 - c^2)
に代入すれば、hを求められます。
:
:
問題は、rをどうやって求めるかですねぇ・・・
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