No.6ベストアンサー
- 回答日時:
Lone07さん、こんばんは。
#4#5fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。
ちょっと不完全な気がして、また来ました。
n次導関数を、
f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数
と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。
n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、(☆)は成立している。
n=kのとき、(☆)が成立するとすると、
f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・(★)
が成り立っている。
n=k+1のときも(☆)が成り立つことを言えばいいから、
(★)をもう一度、xで微分すると、
f^(k+1)(x)=(√2)^k{(e^x)'sin(x+kΠ/4)+e^x(sin(x+kΠ/4)'}
=(√2)^ke^x{sin(x+kΠ/4)+cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^x{(1/√2)sin(x+kΠ/4)+(1/√2)cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^xsin{(x+kΠ/4) + Π/4}
=(√2)^(k+1)*e^x*sin(x+(k+1)Π/4)
となるので、(☆)はn=k+1のときも成り立つことが証明された。
よって、すべての自然数nについて、
f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数
は成立する。
と、するのがいいと思います。
ご参考になればうれしいです。
朝、答えあわせをしようとしてPCを起動させたらビックリでしたw
確かに数学的帰納法が必要ですね。アドバイスをありがとうございました。
またよろしくお願いします。(お礼が遅れてすいませんでした^^)
No.7
- 回答日時:
既に答は出ていますが,次のようにすると簡単でしょう.
e^x sin(x) = Im(exp{(1+i)x})
ですから,1回微分するということは 1+i をかけるのと同じことです.
1+i = √2 e^(πi/4) ですから,
4回微分すれば符号が違ったものが現れて(√2)^4 = 4 倍になり
8回微分すれば同じもので16倍になります.
1回微分する毎に位相が π/4 だけ回転するのですから,
sin(x+nΠ/4) の因子が現れるのもすぐ見えます.
この回答への補足
もう待つのがイヤになったのでここで締切らせてもらいます^^(2ページ目に入ったことだしw)
1ヶ所分からないところを残すのはイヤなのですが、とりあえず目的は遂げたので良しとします。
次につまずいた時にでも質問しますのでその時はよろしくお願いします。
回答ありがとうございます。・・・が
1行目から分かりませんw ・・・ Im ってなんですか?
あとe^x sin(x) = Im(exp{(1+i)x}) はどうやって出したのですか?
分からない事だらけでごめんなさい^^
あとそろそろ締切りたいと思ってますのでよろしく!
(#4.5.6の方に20Points贈るつもりです。10Pointsは考え中ですw)
No.5
- 回答日時:
#4です。
3次導関数のところ、
>f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x+3Π/4)
すみません、ここ計算間違えていますね。
正しくは、
f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)
=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x-Π/4)
=2√2e^xsin(x+3Π/4)
となりますね!ごめんなさい。
答えの符号は√2のn乗でいいです。
4次導関数も、
f^(4)(x)=-4f(x)=-4*e^x*sin(x+0)=(√2)^4*e^x*sin(x+0*Π/4)
ですね。
f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4)
n:自然数
となるようです。訂正いたします。
丁寧に計算までしていただいてとても感謝しています。
もう一度解いてみて、答え合わせさせてもらいます。
どうもありがとうございました。
(#4の方のお礼は省略させて下さい。お礼を書くのもタイヘンです~w)
皆さんとても多くの回答をどうもありがとうございました。分からない事だらけなんで、また質問させてもらうと思いますが、その時はよろしくお願いします。
一応すべてにお礼を書くようにしているんでw
No.4
- 回答日時:
Lone07さん、こんばんは。
1つ1つ微分していってどのような感じになりそうか?
を求めてみればいいと思います。
f(x)=e^xsinx
f'(x)=(e^x)'sinx+e^x(sinx)'
=e^xsinx+e^xcosx
=e^x(sinx+cosx)
f^(2)(x)←2次導関数
=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'
=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)
=2e^xcosx
f^(3)(x)=2{(e^x)'cosx+e^x(cosx)'}
=2{e^xcosx-e^xsinx}
=2e^x(cosx-sinx)
f^(4)(x)=2{(e^x)'(cosx-sinx)+e^x(cosx-sinx)'}
=2e^x{cosx-sinx-sinx-cosx}
=-4e^xsinx
=-4f(x)
となって、#1ojamanboさんと同じ結果になりました。
n次導関数は、このことから、
f(x)=e^xsinx=e^xsin(x+0)
f'(x)=e^x(sinx+cosx)=√2e^x((1/√2)sinx+(1/√2)cosx)
=√2e^xsin(x+Π/4)
f^(2)(x)=2e^xcosx=2e^xsin(Π/2-x)=2e^xsin(x+Π/2)
f^(3)(x)=2e^x(cosx-sinx)=-2e^x(sinx-cosx)
=-2√2e^x{(1/√2)sinx+(-1/√2)cosx}
=-2√2e^xsin(x+3Π/4)
↑
ここは、-√2の3乗になっている
f^(4)(x)=-4f(x)=-4*e^x*sin(x+0)=(-√2)^4*e^x*sin(x+0*Π/4)
となるので、
f^(n)(x)=(-√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4)
n:自然数
のようになると思います。
ご参考になればうれしいです。
No.3
- 回答日時:
きっと大学生だと思いますがn次導関数を求めるには
ある程度何回か微分してn次導関数を推測する方法と
ライプニッツの公式を使う場合とがあります。
今回は何回か微分して推測してnの式で表すケースですね。
ただ今回はそのnで表すのが少々面倒です。
nを4で割ったあまりで場合分けすることもできますが
√2^ne^x sin(x+nπ/4)と
まとめて表す事も出来ます。三角関数の合成を使います
sinxのn次導関数はsin(x+nπ/2)とあらわせる
ことを覚えておくとべんりです
回答ありがとうございます。
n次導関数を求めるには2通りしかないんですか~
覚えときます^^
あと、
>sinxのn次導関数はsin(x+nπ/2)とあらわせる
という部分も覚えておきます
覚えること多いなぁ~w
No.2
- 回答日時:
方法は他にもあるかもしれませんが。
1次の導関数を求める→e^x*(sinx+cosx)
2次の導関数を求める→2*e^x*cosx
3次の導関数を求める→2*e^x*(-sinx+cosx)
4次の導関数を求める→-4*e^x*sinx
4次の導関数は元の関数の(-4)倍となるということから、
n=4mのとき(-4)^m*e^x*sinx
n=4m+1のとき(-4)^m*e^x*(sinx+cosx)
n=4m+2のとき(-4)^m*2*e^x*cosx
n=4m+3のとき(-4)^m*2*e^x*(-sinx+cosx)
というのはどうでしょうか。
No.1
- 回答日時:
とりあえず順番にやってみる。
4階微分でf^(4)(x)=-4f(x)
になると思うのでnを4の倍数で場合分けして
答えればいいと思う。
あるいは三角関数の合成を使えば
f^(n)(x)=e^x(√2)^n*sin(x+nπ/4)
となりそう。このほうがスマートかな。
頭の中でやったので・・・多分大丈夫だと思いますが
とにかくやってみることです。
回答ありがとうございます。
1回ずつ微分してったんですが・・・
sinとcosがでてきてしまい、うまくまとめられなかったんです。三角関数の合成には気づきませんでした。
参考にします^^
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 -π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数を求めよという問題の解 1 2023/02/06 18:20
- 数学 3次関数の極値を求める際 微分して導関数求める→因数分解して=0を求める といったプロセスですが、例 2 2023/05/17 13:27
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 関数1/(1+√x)のx=1における微分係数を微分の定義に従って求めよ。 これについて教えていただき 5 2023/07/22 19:08
- 数学 微分積分の問題でお聞きしたいことがあります。 次の関数zの2階の偏導関数を求める問題ですが、 log 2 2023/06/18 22:49
- 統計学 高1です。 数学のこの問題が分かりません。どうか教えてください。 (1) y = 4 (x^5 + 3 2022/12/28 02:02
- 数学 (-∞,∞)上の関数y=y(x)はx<0でy”-4y=e^xを、x>0でy“-4y=e^(-x)co 2 2022/07/29 17:03
- 数学 【至急】二次関数のグラフについて質問です この赤丸で囲んだ、y軸との交点はどうやって求めるのでしょう 4 2023/05/09 20:48
- 数学 数学3の微分法・対数関数の導関数に関しての質問です。 [ ] は絶対値を表しています。 y=log[ 3 2022/05/24 14:07
- 数学 (-∞,∞)上の関数y=y(x)はx<0でy”-4y=e^xを、x>0でy“-4y=e^(-x)co 2 2022/07/30 11:50
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
sinωTをTで積分。
-
円柱と平面方程式の交線につい...
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
数学 sin1/2は何を表しているの...
-
大学受験時のsin,log,lim,xの表記
-
半区間展開について
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
2つの円の一部が重なった図
-
なぜ2sinθ=1になるんですか?
-
n次導関数
-
sin2tの積分の仕方わかる人いま...
-
lim【(x,y)→(0,0)】sin(xy)/x^2...
-
複雑な三角関数の周期の求め方
-
三角関数の積分
-
-sinxとsin(-x)はどちらも同じ...
-
(sinx)^2 のn次導関数
-
(2)で質問なのですが、なんでsi...
-
三次元グラフを作成したい。
-
y=sinθ+1とy=sin(θ+π/4)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
sin²θとsinθ²と(sinθ)²って全部...
-
sinωTをTで積分。
-
極限の問題
-
sinのマイナス1乗の計算方法を...
-
底辺と角度から、高さを求める。
-
eの積分について
-
どんな整数であってもsin(nπ)=0...
-
(sinx)^2 のn次導関数
-
2つの円の一部が重なった図
-
大学数学の極限の問題について ...
-
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
-
e^(-x)*|sinx| これを積分する...
-
数IIIの極限
-
y=sin^( -1) x の(-1)って...
-
簡単な偏微分についての質問です。
-
大学受験時のsin,log,lim,xの表記
-
sin2tの積分の仕方わかる人いま...
-
関数の連続性ε-δ論法
-
sinx=cosxの解き方。
-
周期の最小値?
おすすめ情報