ご指摘を参考に訂正しました＜無理不等式 √(x-1)<3-x ＞

ご指摘を参考に訂正しました＜無理不等式　√(x-1)<3-x　＞

B-jugglerさんとTacosanさんのご指摘部分と
私のケアレスミスも合わせて修正しました。ご意見をお願いします。

問題：√(x-1)<3-x
無理関数の定義より　x-1≧0、x≧１

√(x-1)<3-x　←　x-1<(3-x)^2について考えると、

x^2-7x+10>0
(前の解答はケアレスミスでx^2-7x+10<0でした…orz)
x<2 , x>5 となります。ただし、x>5は√(x-1)<3-xに代入すると2<-2と矛盾します。

∴　√x-1<3-x　⇔　x-1<(3-x)^2　, x<2　,　 x≧１

以上より　1≦ｘ<２　でどうでしょうか？
√(x-1)<3-xに代入しても矛盾はないと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2010/09/15 10:36

まずは、勘違いされているのが、

A>B
で
A^2>B^2
が成立するのは、A,Bともに負ではないことが条件になります。
従って、質問の不等式√(x-1)<3-xにおいて、左辺は実数を取る限り必ず0または正ですが、
右辺は負になる可能性が十分にあります。

なので、両辺を二乗して解くとすれば、
まずは、左辺が実数である範囲を求めて、かつ左辺は０または正であることに注目すれば、
右辺が少なくとも正ではないといけないので、
x>1,x<3という必要条件は出ます。
その上で、
x^2-7x+10>0
を解いて、先の必要条件と照らして回答する必要があります。

ちなみにご質問の解き方だと、
x>5が矛盾があることの立証が不十分です。
x>5である全てのxに対して成立しないことを示す必要があります。

この回答へのお礼

3-x>0がポイントですね、

>>x>5である全てのxに対して成立しないことを示す必要があります。

その通りですねほんとに。

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2010/09/15 18:58

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/15 10:49

ごく基本的な問題なんだが、グラフを使うと問題の意味が良くわかる。

y(1)＝3-x、y(2)＝√(x-1) とすると、x-1≧0の範囲で、y(1)がy(2)より常に上にあるxの範囲を求めよ、という問題になる。
放物線のグラフさえ書ければ、1≦x＜2　と言うのは直ぐ確認できるはず。
何故なら、3-x＝√(x-1)を解けば、交点は求められるから。

計算だけではなくて、常にグラフを考えていると視覚的にもミスが防げる。
この問題でも、(放物線のグラフさえ書ければ)簡単に行くし、ミスも防げる。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとう御座います。

そういえば、例えば円をイメージしたときに軸と座標もセットで頭に浮かばなければならないと担当教授から言われました。

お礼日時：2010/09/15 18:55

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2010/09/15 10:14

ざっと見る感じでは問題なさげです（私が何か見落としている可能性はありますが）

ただ、一つ気持ち悪い部分があるのでアドバイスです。

>x>5は√(x-1)<3-xに代入すると2<-2と矛盾します
方程式の複数解の片方を代入して適・不適を確かめるならともかく、不等式を代入するというのは
ちょっと気持ち悪さが残ります。
それよりは、最初の式の左辺≧0であることから
3-x>0⇔x<3
とxの範囲をさらに絞り込んで、x>5はこの範囲に入っていないという理由ではじいた方が
すっきりすると思います。
（というかこうしないといけないかも・・・）

参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

>>それよりは、最初の式の左辺≧0であることから
3-x>0⇔x<3

非常にすっきりしました。ありがとうございます。

お礼日時：2010/09/15 19:00