対偶を用いた証明です
自然数a、b、cがa^2+b^2=c^2を満たすとき、a、bのうち少なくとも1つは3の倍数である
という問題なのですが、
解答が次の通りで
全く理解出来ませんでした(;_;)…
aが3の倍数でないとき
実数Kを用いてあらわすと
a^2=3k+1
bも同様にして
実数mを用いてあらわすと
b^2=3m+1
a^2b^2=3k+1+3m+1
=3(k+m)+2
k+mは実数であるので
c^2を3でわったあまりは
0または1であるので
a^2b^2≠c^2
対偶が真であるので
命題も真である
なのです、、
私にはさっぱりでした
どなたか解説お願いします!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
aが3の倍数でないということは、a=3n+1、あるいは3n+2 (nは整数)と表されるということで、これらを二乗すると9n^2+6n+1、あるいは9n^2+12n+4となり、これらを3で割った余りはいずれも1になるのでa^2=3k+1と表すことができます。
bが3の倍数でない場合も同じです。よってa^2+b^2を3で割った余りは2となります。一方cについて考えると、
(1)cが3の倍数の場合:c^2も3の倍数
(2)cが3の倍数でない場合:c^2を3で割った余りは1(上記のa、bの場合と同じ)
以上より、aとbの両方を3の倍数でないとするとa^2+b^2≠c^2ということになります(3で割った余りが一致しない)。
この対偶をとるとa^2+b^2=c^2ならばaとbの少なくとも片方は3の倍数であるとなります。
No.2
- 回答日時:
3の倍数でない自然数は、3で割ると余りが1か2である自然数です。
このどちらも2乗したものを3で割ると余りが1になります(証明は略します。確かめてみてください)。このことから、
> aが3の倍数でないとき、実数Kを用いてあらわすとa^2=3k+1
と置くことが出来ます。
また、
> c^2を3でわったあまりは0または1である
これも上記のことから言えることです(cが3の倍数ならc^2を3で割った余りは0であり、3の倍数でないならc^2を3で割った余りは1です)。
解説ではこのことを当然のこととしているようですが、実際の答案では証明した方がよいように思います。
No.3
- 回答日時:
解答・・・言葉足らずだし,論証が甘いし,
整数でなければいけないところが実数になってるし
質問者のタイプミスは除いても
私が採点するなら,
10点中最低でも6点くらいは引くな.
証明する命題は
「自然数a,b,cに対して
aとbがともに3の倍数でないならば
a^2+b^2=c^2とはならない」
aが3の倍数ではないならば
a=3k+1,3k+2(kは0以上の整数)と表せる
このとき,
a^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k^2+2k)+1
または
a^2 = 9k^2+12k+4 = 3(3k^2+4k+1)+1
であるので,a^2を3で割った余りは1である.
すなわち,
a^2=3k'+1 (k'は0以上の整数)と表せる.
同様に
bも3の倍数ではないので
b^2=3k''+1 (k''は0以上の整数)と表せる.
したがって,
a^2+b^2 = 3(k'+k'') + 2
である.
a^2+b^2=c^2であるので
c^2=3(k'+k'')+2 (k'+k''は0以上の整数)
つまり,c^2を3で割った余りは2である.
ここで,もしcが3の倍数であったならば
c^2も3の倍数であるので余りが2になることはない.
したがって,cは3の倍数ではない.
すると,この証明の最初の部分と同様にして
c^2を3で割った余りは1である.
よって矛盾.
したがって,a^2+b^2=c^2とはならない
No.4
- 回答日時:
整数aが3の倍数ではない時の表し方を
a=3k+1、3k+2 (k 整数)
ではなくて
a=3k±1 (k 整数)
とすればもっと見やすくなるのではないでしょうか。
a^2=(3k±1)^2=9k^2±6k+1=3k'+1 (k' 整数)
同様にしてbが酸の倍数でない時は
b^2=3m'+1
a、bがともに3の倍数でない時
a^2+b^2=3(k'+m')+2
右辺のc^2は 3n' か 3n'+1 のどちらかですから「a,bがともに3の倍数でない」は成り立ちません。
※「さっぱりです」とか「全然分かりません」という言葉を使った質問が目につきます。
こういう質問には答えようがありません。
3の倍数、3で割り切れない数の表し方の段階で分からないのか
二乗についての表現が分からないのか、
場合分けで分からなくなったのか、
対偶という論理構造が分からないのか、
自然数、整数、実数の区別が分からないのか、
回答者はこういうことを推測しなければいけなくなります。
分からないと言えば丁寧に全部答えてくれると思っておられるのではないでしょうね。
この部分が分からないとか、ここまでは分かっているということを書いて下さい。
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