No.3
- 回答日時:
[1] ある命題が証明されたら、それは真理である。
[2] ある命題が否定されたら、それは真理でない。
[3] ある命題が証明も否定もできなかったら、真理である場合がある。
(1) の意味は、[3] です。
数学云々というより、日本語的にほぼ同じ文ですよね。
[1][2] の内容は、(1) には含まれませんが、
(1) の議論の前提として仮定するものです。
お読みになった本のページをめくって、
「無矛盾性」とか「証明系が矛盾を含まなければ」などの
文言の前後を読み返してみましょう。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
数学で言う「真」とはそういう事じゃ無いですよ。
数学は自然科学では無くて形式科学です。
定義と公準を出発点に定め、それだけを元に命題を証明し、証明出来たら「真」、否定できたら「偽」です。
証明されたのだから「真」
否定が証明されたのだから「偽」
証明も否定もできなかったら、その形式体系では証明不可、と言ってるだけ。
つまり、その定義と公準からなる形式体系内では扱えない命題と言う事です。
早速のご回答ありがとうございます。
<証明も否定もできなかったら、その形式体系では証明不可、と言ってるだけ。
つまり、その定義と公準からなる形式体系内では扱えない命題と言う事です。>
私の頭では、分かりそうで分からないことですね。
No.5
- 回答日時:
ご質問の文脈における「証明」や「真理」という語は専門用語で、日常において感覚的に(すなわち、その意味を深く突き詰めてある訳でもないくせに)口走る語とは意味が異なる。
そもそもどんな「理論」(これも専門用語)における「証明」や「真理」の話なのかを指定しないと、意味をなさない。特に、現実の世界に関する物理学的な真理、という話とはまるで関係がないことにご注意。実のところ、ものすごく難しい深遠な話、というわけでもないんです。けれども、他人に正確に説明するのは(段階を踏まねばならんので)かなーり大変である。そういう事情ですから、半知半解でアテズッポの想像を巡らせているよりも、腹を括ってキッチリ勉強した方がいいと思うなあ。どうせなら、歴史に沿って、まずはヒルベルトの「幾何学基礎論」をザッと眺めて「形式主義」の感覚を掴んだ上で、ゲーデル自身の「不完全性定理」 (岩波文庫)を読んでみて、それから改めて計算理論(計算可能性の理論)、数学基礎論(集合論の基礎論)、形式論理学なんかををぼちぼち学ぶと、体系的な理解が深まっていくと思います。副読本にはスマリヤンが良いかな。
No.6
- 回答日時:
>>私の頭では、分かりそうで分からないことですね。
数学とは何か、とか、形式体系とは何かを一度学んだ方が良いと思う。
難しくは無いから。中学生でも解る。
自然界(物理や化学、宇宙論)での真と数学の真は全く別物。
不完全性定理アレンジ版を以下に示すから、ジックリと読んで下さい。
「この命題自身は証明不可脳である」
「」命題を証明出来たとすると、命題通り不可能。
「」命題の否定が証明出来たとすると、命題が言ってる通りなので証明出来た事になる。
この言葉のアヤみないなのを、数学的に正しくやってるのが不完全性定理。
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