∫(0→2π)(sin^2θcosθ)dθの計算

∫(0→2π)(sin^2θcosθ)dθの計算

ここからどのようにすれば[sin^3θ/3](0→2π)と変形できるのでしょうか。回答には途中式がなく、なぜこのようになるのかが分かりません。どなたか回答お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/02 11:45

>∫(0→2π)(sin^2θcosθ)dθ

=∫(0→2π)(sin^2θ)(sinθ)' dθ
=[(sin^3θ)/3] (0→2π)


次の公式に当てはめるだけです。
F(x)=∫f(x)dx+Cのとき
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C

以下のように置けば公式が適用できます。
x=θ
g(x)=sin(x),g'(x)=cos(x)
f(x)=x^2,F(x)=(x^3)/3+C
f(g(x)=f(sin(x))=sin^2(x)

No.2 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/02 11:20

t = sinθ とおく。

dt = cosθ dθ なので、
∫(sinθ)^2 cosθ dθ
= ∫ t^2 dt
= t^3 / 3
= (sinθ)^3 / 3 。

No.1 回答者： okormazd 回答日時： 2010/10/02 11:12

部分積分

u=sin^2θ，v’=cosθ
とすれば，
uv’=sin^2θcosθ
uv= sin^2θ・∫cosθdθ=sin^2θ・sinθ =sin^3θ
u’v= (sin^2θ)’・∫cosθdθ=2sinθcosθ・sinθ=2 sin^2θcosθ
予式が，
∫uv’=uv-∫u’v=uv- 2∫uv’
になって，
3∫uv’=uv
∫uv’=1/3uv
定積分にすれば，質問のようになるのでは。