比重の公式の証明ができません。

比重の公式の証明ができません。

現在比重について学んでます。
ゲーリュサック型の比重瓶を使用して蒸留水と溶液の重量を測定し、次の公式に当てはめれば溶液の比重が測定できると書いてあります。


比重＝（溶液の質量/蒸留水の質量）÷ｄ
※ｄ＝測定温度の蒸留水の比重

しかし、何故この式を使用すると比重が求められるかが分からないのです。

蒸留水の重さ（y）：蒸留水の比重（d）＝溶液の重さ（x）：溶液の比重（a）

上記の関係性が成り立つ時、内項外項の積によって

ya＝xd

が成り立ち、移項によって出来る式は

a＝xd/y　→　a＝(x/y)×d

ではないのかと行き詰ってしまうのです。
何故、公式では÷dになるのでしょうか？

もしかしたら数学的な基本が出来ておらず、とんでもない解釈をしてたらすみません。
その点も含めて教えてください。お願いします。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/10/06 21:42

こんにちは。

その世界のことは全然知らないのですが、回答してみます。

（本来の）比重　＝　（溶液の質量/蒸留水の質量）÷ｄ

温度が高くなると、体積が増えて、密度が下がります。
ですから、体積を元に戻してやらないと、本来の比重になりません。
熱膨張して体積がＡ倍になったとしましょう。
すると、
（本来の）比重　÷　Ａ　＝　溶液の質量／蒸留水の質量
となります。

ここで
Ａ　＝　測定温度での体積／本来の温度での体積
　＝　（質量／測定温度での密度）／（質量／本来の温度での密度）
　＝　本来の温度での（水の）比重／測定温度での（水の）比重
　＝　１／測定温度での（水の）比重
　＝　１／ｄ

よって、
（本来の）比重　＝　溶液の質量／蒸留水の質量　×　Ａ
　＝　溶液の質量／蒸留水の質量　÷　ｄ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

Ａ＝1/ｄの計算の過程は理解しました。

sanoriさんの言う（本来の）比重とは、求めたい溶液の比重で良いですか？
Ａが右辺に書かれている蒸留水の比重という事では無いんですよね？

（本来の）比重÷Ａ＝溶液の質量/蒸留水の質量

が成り立つ理由が理解できてないみたいです…。

詳しく言うと、自分の中では、
体積がＡ倍になった事で、もともとの比重が÷Ａになるのは分かります。
しかし、それが溶液の質量/蒸留水の質量と繋がる理由が分からないのです。

お手数をかけて申し訳ありませんが再度回答お願いします…。

お礼日時：2010/10/07 11:23

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/10/07 12:19

＞＞＞sanoriさんの言う（本来の）比重とは、求めたい溶液の比重で良いですか？

あなたの質問文にある
比重＝（溶液の質量/蒸留水の質量）÷ｄ
という式の左辺に書かれている「比重」のことです。
それ以上でもそれ以下でもない、それそのものです。

＞＞＞Ａが右辺に書かれている蒸留水の比重という事では無いんですよね？

文がわかりにくいのですが、もしも
「右辺に書かれている蒸留水の比重はＡである」
という意味の質問だとすれば、間違いです。

＞＞＞（本来の）比重÷Ａ＝溶液の質量/蒸留水の質量
＞＞＞が成り立つ理由が理解できてないみたいです…。

質量というのは、温度や体積がどうであれ、変わりません。　←キーポイント１
溶液も水も熱膨張率が同じだとすると、　←キーポイント２

（本来の）比重　＝　溶液の質量／水の質量　×　Ａ
　＝　溶液の質量／水の質量　×　高温での水の体積／本来の水の体積
　＝　溶液の質量／本来の水の体積　×　（高温での水の体積／水の質量）
　＝　溶液の質量／本来の水の体積　÷　高温での水の密度
　＝　溶液の質量／（本来の水の体積×本来の水の密度）　÷　（高温での水の密度／本来の水の密度）
　＝　溶液の質量／（本来の水の体積×本来の水の密度）　÷　高温での水の比重
　＝　溶液の質量／（本来の水の体積×本来の水の密度）　÷　ｄ
　＝　溶液の質量／（本来の水の体積×本来の水の密度）　÷　ｄ
　＝　溶液の質量／本来の水の質量　÷　ｄ
　＝　溶液の質量／水の質量　÷　ｄ
（おしまい）

この回答へのお礼

お返事遅くなりました。
ありがとうございます。

せっかく丁寧に答えていただいたのですが、今の私にはちょっと早いみたいです…。
担当教科の先生にも聞いたのですが、やっぱり自分の中で引っかかる所がありすっきりと全て理解するのは無理でした…。

他にも課題があるので、真の理解は今のところ保留にしたいと思います。
お答えを無駄にするような結果にしてしまい、本当に申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/13 22:57

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2010/10/13 23:51

一応、もう１回回答してみます。

まず、
比重が大きい、小さいというのは、同じ体積で重い、軽い、ということですよね？
別の言い方をすれば、比重が大きい、小さいというのは、同じ重さで体積が小さい、大きいということです。

では、
仮に、とりあえず温度なんかどうでもいいや！ということにして、高い温度で溶液の比重を決めたとしましょう。
温度が高いということは、溶液が膨張しています。
するとどうでしょうか。
熱膨張した溶液というのは、膨張した分、体積当たりの重さが軽くなるはずですよね？
・・・ということは、普通の温度では、体積が小さくなるので、同じ重さで体積が小さくなります。
つまり、温度が高いところで決めた比重というのは、普通の温度での比重より小さくなります。
逆に言えば、普通の温度での比重は、高い温度で決めた比重よりも大きくなるということです。
言い換えれば、

高い温度で決めた比重の値は、重さ的にハンディを負っている値！！！！！

ということです。

これは、液体と気体との違いはあれども、熱気球が空に浮く原理と同じです！
（熱せられた空気の比重は小さくなる。）

「普通の温度での溶液の比重」を求めるには、「高い温度で決めた比重に何かをかけるか割るかして」大きい値へと補正してあげなければいけません。
大きくしてやるには、「１より大きい数をかける」か「１より小さい数で割る」かです。
そこで　ｄ　の登場です。

ｄ　は、「測定温度の蒸留水の比重」でしたね。
高温では、ｄ　は、１より大きいでしょうか？それとも小さいでしょうか？
高い温度の蒸留水なので膨張していますから、普通の温度の蒸留水の比重（＝１）より小さいですよね？
ですから、割ることになります。

よって、
普通の温度での溶液の比重　＝　とりあえず高温で決めた溶液の比重　÷　１より小さい数
　＝　とりあえず高温で決めた溶液の比重　÷　ｄ

この回答へのお礼

ありがとうございます。
お返事大変遅くなってすみませんでした。

大体は把握できたと思います。
ご丁寧に解説ありがとうございました。

補足ですが、最初は4℃の水の密度に対するX℃の溶液の密度の割合を求める式かと思い混乱してました。
次に納得がいかなかったのは、公式の証明を全て式で表そうとして上手く証明出来なかった所でした。
上手く説明できないのですが、割合による式の関係が成り立つのであれば、sanoriさんの様な文章での解説を入れなくても式に表す事が出来ると考えていたんです。でも、全部をひっくるめると少し矛盾が発生しちゃうんですよね。
比重や密度、質量に関する事を別々に説明すれば上手くまとめられても、全部を一緒にした式が出来なかったのが悔しかったのかもしれないです。
「何言ってんだコイツは」とか思われちゃいそうなんですが、そんな背景があり苦悩してました。
上手く説明できずに申し訳ないです。

ひとまず、比重に関してはこれで終わりとしたいと思いますが、回答締め切りはもう少し様子を見ます。
また何かありましたら回答いただけると嬉しいです。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/11/01 23:28