どなたかこの問題の解き方を教えてください。

どなたかこの問題の解き方を教えてください。


【問】
３辺の長さ２cm、２√３cm、４cmの三角形に、図のように長方形を内接させる。このとき、長方形の面積の最大値を求めなさい。


よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/02 05:40

　与えられた三角形を△ABCとして　AB=4cm, BC=2√3cm, CA=2cm となるように頂点A,B,Cを付けます。

　また内接している長方形を長方形DEFGとして、辺AB上の点Aに近い方の頂点を点Dとし、残りの頂点E,F,Gは反時計回りに振っていきます。
　そして、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足を点Hとします。

　△ABCは　すでに回答者さんたちから解答されている通り、AB^2=BC^2+CA^2　の三平方の定理が成り立ちますので、∠C=90°とする直角三角形です。
　従って、△ABCの面積は　(1/2)×2√3×2=2√3 (cm^2) です。

　DG:HC=x:1 （0<x<1)と置きます。
　すると三角形の相似比から三角形の面積の比が求められます。
　　△ADG∽△AHC　なので　△ADG=x^2 △AHC　です。　　・・・・(1)
　　△BEF∽△BHC　なので　△BEF=x^2 △BHC　です。　　・・・・(2)
　　△GFC∽△ABC　なので　△GFC=(1-x)^2 △ABC　です。　　・・・・(3)

　ここで、△AHC+△BHC=△ABC　なので　(1)(2)から
　　△ADG+△BEF=x^2 △ABC
となりますので、
　　△ADG+△BHC+△GFC={x^2+(1-x)^2}△ABC=(2x^2-2x+1)△ABC
です。

　このことから　長方形DEFGの面積は次のように求められます。
　　長方形DEFG=△ABC-(△ADG+△BHC+△GFC) =(2x-2x^2)△ABC ={-2(x-1/2)^2+1/2}△ABC

　△ABCの面積は2√3(cm^2)でxにはよりませんので、長方形DEFGの面積は　x=1/2 のとき最大となり　その最大値は　(1/2)×2√3=√3 (cm^2) となります。

No.2 回答者： kazu_-T 回答日時： 2010/11/02 02:23

微分を使って良いものとして回答します。

まず、この三角形は辺の比が1:2:√3となっているので直角三角形です。

長方形の長辺をXとします。

すると長方形より上の三角形の右側(元の長さが2√3cmの辺)の長さは、1/2・√3・Xです(この三角形は元の三角形と相似の為、2：√3＝X：○から○＝1/2・√3・Xです)。

従ってその辺の残り(長方形の右横)は2√3-1/2・√3・Xです。

長方形の右横の三角形も元の三角形と相似なので(向きは違います)、高さをHとしたら

H　：　2√3-1/2・√3・X　＝　1　：　2　です。

従って高さは√3-1/4・√3・Xです。

従って長方形の面積をYとすると

Y＝X・(√3-1/4・√3・X)
　＝√3・X-1/4・√3・X^2

です。

この式は下向きの放物線なので、これの傾きがゼロとなる点のYが面積の最大値です。

従って微分して

Y´＝√3-1/2・√3・X

これがゼロとなる時のXは2です。

従って面積の最大値は上のY=の式にX＝2を代入し

Y＝√3

以上が答えとなります。

No.1 回答者： mikeyan 回答日時： 2010/11/02 01:27

図を見ると難しそうに見えますが、３辺の長さを見るとこの三角形はただの直角三角形です。

そうすると簡単ですよね。