正弦波の合成

誠に恐縮ですが

同じ正弦波が　２個あって、ひとつを　９０度遅れの位相で　合成したとき、得られる波形は　正弦波でしょうか？
それとも、「ひとこぶらくだ」のように　崩れる？

よろしくどうぞ

No.2 ベストアンサー 回答者： mtaka2 回答日時： 2010/11/24 13:13

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦波を加算した場合、
・位相のずれはδ/2(中間の位相)で
・振幅は2cos(δ/2)倍
の正弦波になります。今回の質問(位相差90度)の場合は、結果は「45度遅れて位相が√2倍の正弦波」です。

計算は省きますが、もうちょっと一般化すると、
「同一周期」で、位相・振幅の異なる正弦波を加算した場合、その結果も正弦波になります。

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/11/24 12:57

同じ振幅なので、振幅 = 1 としても一般性を失わない。

まず、「合成」が足し算なら？
φ= 2πf として、
　sinφ + sin(φ+ π/2) = sinφ + cosφ
　= SQRT(2)*{SQRT(1/2)sinφ + SQRT(1/2)cosφ}
　= SQRT(2)*sin(φ + π/4)
つまり、「得られる波形は正弦波」。

ならば、「合成」が掛け算なら？
二つの正弦波の和、なのかな。
　　　　

この回答へのお礼

早速、恐れ入ります。
有難うございました。

お礼日時：2010/11/24 13:02