異なる慣性系での運動エネルギーの差の矛盾

慣性系Xに対し速度Vで運動している慣性系Yにおいて、
静止している物体（質量m）を速度vまで加速するのに必要なエネルギーEは、
Ey＝1/2mv^2

一方、慣性系Xで考えると、運動エネルギーの差から、
Ex＝1/2m{(V+v)^2-V^2}=1/2mv^2+mVv

となり、Ex≠Eyです。
この差 Ex-Ey=mVv の正体は何なのでしょうか？

これと同様の質問がすでにありましたが、私にはよく理解できませんでした。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3847095.html
相対性理論？（ある程度は理解しているので、数式での説明が欲しいです）
反作用質量？（初めて聞きました）

No.4 ベストアンサー 回答者： heboiboro 回答日時： 2010/12/12 23:01

この問題に相対論は不要です。

ご存知の通り、運動エネルギーの増分は仕事です。そして仕事とは(力)×(動いた距離)です。
ところがこの(動いた距離)は観測者の速度によって異なります。具体的には力を加えた時間をTとして、速さVで動いている系では余分にVTだけ動いて見えます。ですからこの系で物体に加えられた仕事を計算するとFVTだけ大きくなります。
今の場合、速さvになるまで力を加えたのでv=(F/m)TよりFT=mvとなり(もちろん運動量と力積の関係から出してもいいです)、速さVで動いている観測者からはmvVだけ多く仕事を加えたように見えます。これが一見余分なmvVという項のでどころです。
このように一般にエネルギーも仕事も観測者により違う値となるので注意してください。

この回答へのお礼

ご教授感謝します！
すごく簡潔で明快な説明で、
やっと納得できました。

お礼日時：2010/12/18 20:29

No.6 回答者： goodknight 回答日時： 2010/12/17 03:43

heboiboro さんの回答が良いですね。

一般論なので分かりにくい場合、例えば自由落下問題を考えるとよいでしょう。良い問題ですので、途中から自分で解いてみてください。

まず、相対論を理解しているなら、非相対論力学での座標変換
t'=t, x'=x+V t, v'=v+V, F'=F, ( p'=m v', E'=1/2 m v'^2 )
を、知っているはずです。F=mg は外力です。今は EとE' を考えます。

高さ０で静止した粒子が、長さ L 落下して速度 v になる時のエネルギー保存則は
E=0 => E = 1/2 m v^2 - m g L =0
です。次にこれを上向き速度 V を持っている慣性系から見ましょう。
E'=1/2 m V^2 => E' = 1/2 m (V+v)^2 - m g R=1/2 m V^2
式を満たすには、落下距離 R は L とは異なるはずです。しかし良く考えると、異なる座標系の位置は等しいはずが有りません。ここがポイントです。

R=L+V T に注意する(x'=R, x=L, t=T)と、エネルギー保存から T=v/g がみちびかれます。

ここで落下時間 T は t'=t に気をつけると、座標系に寄らず同じです。また、外力 F'=F=mg も同じです。では、落下時間をチェックしましょう。

外力 mg で速度 0 から速度 v に加速する時間 t=v/g
外力 mg で速度 V から速度 V+v に加速する時間 t'=v/g

と導けますので、この非相対論力学に矛盾はありません。

>この差 Ex-Ey=mVv の正体は何なのでしょうか？
Ex= F' R=mg R , Ey= F L = mg L です。つまり、エネルギー変化(＝仕事)において、移動距離が座標変換で変化する事に対応して、Ex-Ey=mVvが出るというわけです。

p.s.

反作用質量は、忘れましょう（笑）
だいぶ時間も立ったし、長いけど、ネット上で誤解する人が出ないように全部載せます。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_ …

この回答へのお礼

ご教授感謝します！
heboiboro様の解説に納得した後に、
より理解を深めることのできる例題でした。

お礼日時：2010/12/18 20:33

No.5 回答者： isa-98 回答日時： 2010/12/12 23:09

これはガリレオ座標の問題です。

＞慣性系Xに対し速度Vで運動している慣性系Yにおいて

地球からＶで遠ざかる宇宙船からＶで加速すれば
地球から見ればそれは２Ｖになります。

矛盾にすら値しません。

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2010/12/12 22:27

　えーと、他人様が考えた道筋はたどりにくいので、問題を単純化します。

基本事項は、異なる慣性系で見た運動エネルギーの差でしょう。
　アインシュタインは全く無関係です。彼のせいにしちゃいけません。ニュートンがいけないんです(^^;。

　慣性系Eyに対して平行に速度を持つ慣性系Exの速度差がVとします。Eyに対して平行に速度vで移動する質量mの物体の運動エネルギーと、それをExで見た場合の運動エネルギーの差は、

Ey = mv^2/2　-(1)
Ex =m(v+V)^2/2 = m(v^2 + 2vV + V^2)/2　-(2)
Ex - Ey = m(2vV + V^2)/2　-(3)

となります。

　Eyにおいて速度0からvまで加速に要するエネルギーが(1)です。
　これを、Exから見た場合、物体は速度Vからv+Vまで加速に要するエネルギーということで、それが(2)です。
　運動エネルギーは速度の2乗の項があって非線形で、運動量のように線形じゃないから、その差が(3)のように単純じゃない形で現れます。

　モデル化さえ正しければ、この差がいろいろな形で現れるでしょうね。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/12/12 21:55

基本的には相対論には無関係です。

何も矛盾はありません。運動エネルギーが相対的なことは非相対論的にも明らかなことです。
Y系で静止している物体の運動エネルギーゼロがX系でmV^2/2になることが矛盾とはいえませんね？

エネルギー保存の観点から矛盾のないことを説明してみます。

運動量保存およびエネルギー保存が成立するためには，力学的な孤立系を考える必要があります。したがって，質量mの物体が加速するためには力積を及ぼしあう相手が必要です。その質量をMとしましょう。両者が静止している状態から加速するY系では，運動量保存は，加速後のMの速さuとして，
0 = mv - Mu
∴u = mv/M
一方，X系では
mV + MV = m(V+v) + M (V-u)
これらは当然ながら，全く同じ式です。このとき運動エネルギーの増分がどうなっているか確認してみましょう。Ｙ系では，
Ey = mv^2/2 + Mu^2/2
一方，X系では
Ex = { m(V+v)^2/2 + M (V-u)^2/2 } - {mV^2/2 + MV^2/2}
= mv^2/2 + Mu^2/2
となって，孤立系全体の運動エネルギーの増分は，いずれの慣性系から見ても同じです。mVvに対して-MVuが相殺していることがうかがえます。

No.1 回答者： debukuro 回答日時： 2010/12/12 19:26

相対論の基本

観測する者とされる者
この二つの関係です
異なる慣性系ではなく慣性系と運動系の関係です
言いかえれば静止系と運動系です
二つの慣性系があるとき観測者がいる側が静止系もう一方が運動系です