この代数系の問題を詳しく解説していただける方

（１） （Ｚ2;+,・) Ｚ2={0,1}
（２） (Z3;+,・) Z3={0,1,2}
それぞれが体となっていることを示せ。また、加減乗算の演算表をそれぞれ示せ。


+については可換群になっているか。
・について, 0を除けば群になっていか。
分配法則は成り立つのか。
を調べるということは分かるのですが、実際にどのようにして解くのかがわかりません。
詳しく教えていただける方、よろしくお願い致します。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/01/11 22:30

奇妙な問題ですね？

とりあえず、(Z2 ; ＋,・) と (Z3 ; ＋,・) それぞれの
加法と乗法の定義を、お使いのテキストに則して調べましょう。

雰囲気的には、
剰余環 Z/2Z と Z/3Z が有限体 F2 と F3 に同型であることを示せ(＊)
と言っているように見えるのですが、それならば
＞ また、加減乗算の演算表をそれぞれ示せ。
が付いてくるハズはないですものね。
だって、演算表は (Z2 ; ＋,・) と (Z3 ; ＋,・) の定義そのもの
なんだから、後から求めるようなものではない。

問題が(＊)の意味でよいのであれば、すべきことは
0 以外で割る除法の答えがひとつに定まることを示すだけです。
加法が可換群であることや、乗法が単位半群であること、
分配法則などは、既に環の定義に含まれていますから、
敢えて示すのは冗長です。