大学の力学の問題なのですが…

力学の問題なのですが、どうしても解けない問題があります。
すみませんが解答の指針だけでもいいので、どなたか教えてください。

(1) 一様重力に加え、抵抗力が働いている場合、力学的エネルギーは保存せず、
必ず減少することを示せ。(抵抗力の大きさは、一定でも、速度のn乗に比例しても示せる。)

(2) 高度hの地点を円軌道で周回する質量mの人工衛星がある。
この人工衛星には燃焼するとv'で噴射する燃料が積んである。
任務終了後、人工衛星を地表に戻すためには、人工衛星の質量のうち何％を燃料として
残しておかなければいけないか調べよ。
ただし、地球の質量をM、半径をR、万有引力定数をGとせよ。

(1)に関しては、例えば抵抗力を一定としてkとでもおいて、鉛直上向きを正とすれば、
F=-mg+k
が成り立ちますよね。
あとは重力が保存力、抵抗力が非保存力であることから求められると思うのですが、
どのように式を立て計算すればよいのかわかりません。

(2)に関しては、おそらく人工衛星と噴出した燃料に関して運動量保存の法則を
立てると思いますが、立ててもそれ以降さっぱり進みません。
問題文から、万有引力の法則を使うと思いますが、どこで用いるのでしょうか…。

すみませんが、よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/24 07:47

＃４への「お礼」に対して

GM/x^2 は単位質量に働く万有引力です。教科書で復習してください。

「逆噴射」は進行方向への噴射の意味で使っています。ロケットやジェット機はふつう、進行方向と反対の方向へ噴射します。その逆方向（＝進行方向）への噴射という意味です。ですから、それによって衛星は減速します。

逆噴射後の軌道は楕円であり、逆噴射した場所はそのいちばん「高い」点なので遠地点であるということです。＃３に書いた、速度がほぼ 0 になる例を考えてみてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
質量はすべての項に掛けられているので、
単位質量として計算していたのですね。
すっかり忘れていました。万有引力ですね。

逆噴射に関しては、意味を取り違えておりました。
進行方向に燃料が噴射されるのであれば、衛星は減速しますね。
調べてみると、実際に航空機ではこのように逆噴射を行って
着陸しているようでした。

これで無事、問題を解くことができました。
ちなみに、僕も計算してみたら-okさんと同じ計算結果が算出されました。
物理学の考え方が乏しい私に、ていねいなご回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/01/24 22:56

No.4 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/23 17:15

＃３への「お礼」に対して

(2)の(1)
これは逆噴射後の衛星に関する式ですから、質量を掛けるなら (1-x)m です。しかし、すべての項に掛けることになりますから、掛けても掛けなくても、同じことです。

(2)の(2)
単位質量の質点の重力的位置エネルギー U は、その質点を重力に逆らって、今ある場所から基準の位置までゆっくり運ぶに要する仕事です。基準の位置を無限遠にとると、
U = ∫(G M / x^2) dx <積分範囲は、今の距離 d → ∞>
　= [- G M / x]<d → ∞>
　= - G M / d。
このあたりについては力学の教科書・参考書に書いてあるはずです。

(2)の(3)
質点が距離の２乗に反比例する重力（のみ）の下で運動するとき、その軌道は楕円、円、双曲線のいずれかになることが知られています（教科書・参考書参照）。等速円運動していた質点が急に減速されると、その瞬間に、いわば遠心力が減るので、円運動が続いた場合よりも少し内向きに動くようになり、楕円軌道に移行します。極端な例として、質点の速度がほぼ 0 になる場合を考えると、質点はほぼまっすぐ落下して、決して円運動を続けるわけではないことがわかると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
(1)と(3)に関しては何とか大丈夫です。
(2)に関して、GM/x^2とは何の力ですか？
万有引力の法則…ではないですよね。

それから、No.2を読み返してまたふと思ったのですが、

逆噴射によって減速した衛星は円軌道を離れ、楕円軌道に移ります。
逆噴射した場所はその軌道上の遠地点（地球から最も遠い点）になります。

とありましたが、
逆噴射するということは、衛星は加速するのではないのですか？
それから、逆噴射によって「円軌道」から楕円軌道に移ったのに
逆噴射した場所が遠地点というのはおかしくないですか？
(逆噴射するときは衛星の軌道はまだ円軌道ですよね)

何回もすみません…でももう少しでわかりそうです。
よろしくお願いします。

お礼日時：2011/01/23 22:12

No.3 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/23 10:14

＃２への「お礼」について

(1) 速度は y' ですから、その n 乗は (y')^n です。y' は正の場合も負の場合もあるので、絶対値をとって k |y'|^n とすると、抵抗力の大きさになります(＃２では書き忘れましたが k > 0 です）。さらに抵抗力は速度 y' と逆の方向に働くので、y' と逆符号で大きさ 1 の量 -y'/|y'| を掛けて、k |y'|^n × (-y'/|y'|) = - k |y'|^(n-1) y' となります。

(2)
(1/2)u^2 - G M / r = (1/2)w^2 - G M / R。　(4)
で、両辺とも第一項は人工衛星の単位質量あたりの運動エネルギーであり、第二項は同じく重力的位置エネルギーです。逆噴射後には重力以外の力は働かないので、遠地点と近地点での力学的エネルギーは同じであることを表しています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

(1)に関しては無事解決しました。
速度に比例するのならば確かに(y')^nになりますね。
ありがとうございました。

(2)なのですが、やはりわからない点がいくつかあります。
(1)-okさんが立式された(4)式によると、
人工衛星の運動エネルギーは単位質量あたりで書かれていますが、
問題文には「人工衛星の質量はm」と書かれているので、mを掛けてはいけないのですか？
(2)人工衛星の位置エネルギー「- G M / r」と「- G M / R」は
どのように求めるのでしょうか。
(3)「逆噴射すると人工衛星は楕円軌道に移る」とありましたが、
それはなぜですか？円軌道のままではないのですか？

すみませんが、ご回答よろしくお願いします。

お礼日時：2011/01/23 13:00

No.2 回答者： -ok 回答日時： 2011/01/22 13:55

（１）

質量 m の質点の鉛直方向の運動を考えます。上向きに y 軸の正の方向をとり、重力加速度の大きさを g とします。抵抗が質点の速さの n 乗に比例する場合、その比例定数を k　とすると、質点の運動方程式は
m y'' = - m g - k |y'|^(n-1) y'。
ここで「'」は時間微分を表します。

両辺に y' を掛けて、整理すると、
m y' y'' = - m g y' - k |y'|^(n-1) (y')^2、
(m/2){(y')^2}' + m g y' = - k |y'|^(n+1)、
[(m/2)(y')^2 + m g y]' = - k |y'|^(n+1)。

この左辺は力学的エネルギーの時間的変化率であり、右辺は 0 または負です。よって上式は、速度が 0 でなければ力学的エネルギーが時間的に減少することを示しています。

水平方向の運動についても、上で g = 0 の場合として、同様に考えることができます。ベクトル式を使えば、鉛直と水平の両方向の運動をまとめて論じることができます。必要であれば、考えてみてください。

（２）
まず、円運動をしている人工衛星の速さ v を求めます。軌道半径を
r = R + h　(1)
とすると、必要な向心力が重力に等しいという条件から
m v^2 / r = G M m / r^2。
これより
v = (G M / r)^(1/2)。　(2)

衛星は質量の x だけの割合の燃料を瞬間的に逆噴射するとします。その結果、速さが u になったとすると、運動量保存則から
m v = (1 - x) m u + x m (u + v')、
　　= m u - x m u + x m u + x m v'
　　= m u + x m v'。
よって、求めたい量 x は次のように書けます。
x = (v - u) / v'
　= (1 - u/v)(v/v')。　(3)

逆噴射によって減速した衛星は円軌道を離れ、楕円軌道に移ります。逆噴射した場所はその軌道上の遠地点（地球から最も遠い点）になります。衛星を地表に戻すためには、その軌道の近地点が地表またはそれより下にある必要があります。近地点がちょうど地表上の点にある場合を考え、その点での衛星の速さを w とすると、エネルギー保存則から、
(1/2)u^2 - G M / r = (1/2)w^2 - G M / R。　(4)

遠地点と近地点では、衛星の速度は直下の地表に平行です（つまり動径方向の成分を持ちません）。よって、角運動量の保存則より
u r = w R。　(5)

(5)より
w = u r / R。
これを(4)に代入して、
(1/2)u^2 - G M / r = (1/2)(r/R)^2 u^2 - G M /R、
(1/2) {(r/R)^2 - 1} u^2 = G M (1/R - 1/r)、
u^2 = 2 G M {(r - R )/(R r)}{R^2/(r^2 - R^2)}
　　= 2 G M R/{r(r + R)}。

(2)を使うと
u = {2 R/(r + R)}^(1/2) v。　(6)

(3),(6),(1),(2)より
x = [1 - {2 R/(2 R + h)}^(1/2)] {G M / (R + h)}^(1/2) / v'。

％での値は 100 x です。

（計算が間違っているかもしれません。御自分で確認してください。）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
以前私が質問した「とある式変形」でもご回答いただきました。
再びのご回答ありがとうございます。

(1)について運動方程式は
- k |y'|^(n-1) y'
となっていますが、速度のn乗に比例するならば、
-k^n
でよいと思うのですが、なぜ上記のような式になるのでしょうか。

(2)について、(3)式までの導出はよくわかりましたが、
(4)式の導出がよくわかりません。

もちろんわからないことは調べていきますが、
よろしければ、ご回答お願いします。

お礼日時：2011/01/23 09:18

No.1 回答者： foomufoomu 回答日時： 2011/01/21 21:46

(1)エネルギーが保存しないことを示す問題ですから、エネルギーで考えないといけません。

最初の位置エネルギーは、　E1=m*g*h　で、抵抗がない場合、距離ｈ落下後のエネルギーは　E2=1/2*m*v^2 です。自由落下の式からVを求めて2つの式を比べてみると　E1=E2 になることがわかります。しかし抵抗力がある場合は、落下後のvはこれより小さくなるので、E1＞E2になります。
（初速度がゼロとして説明していますが、一般性をもたせるならv0を考えてください。）

(2)運動量保存の法則を使うのは、よいです。
人工衛星の速度は高さによって一定です（軌道速度といいます。式は調べてください。）したがって、高度ｈのときの軌道速度vhを、地表面の軌道速度v0まで落とせばよいことになります。
人工衛星の質量を、燃やす燃料の質量m1と　人工衛星＋残り燃料の質量m2に分けて考えると、
m1を速度v'で打ち出すと考えればよいので、vh*(m1+m2) = (vh+v')*m1 + v0*m2
を解けばよいです。