解法によって数値が変わってしまいます…

微分方程式の途中で出てきた積分なのですが、

∫z/-(z-1)^2 dz です。普通に解きますと、
t=z-1として、dz=dt、z=t+1

∴-∫(t+1)/t^2 dz=-∫(1/t+1/t^2)/t^2 dz
=-logt+1/t+C
Cは積分定数です。以上より-log(z-1)+1/(z-1)+C

次に部分積分で考えます。
∫z/-(z-1)^2 dz=∫z{1/-(z-1)^2} dz

zを微分して1、{1/-(z-1)^2}を積分して1/(z-1)
∴[ z{1/(z-1)} ]‐∫1/(z-1)ｄｚ
=-log(z-1)+z/(z-1)+C

-log(z-1)+1/(z-1)+C≠-log(z-1)+z/(z-1)+C
となってしまいます。
前者が正しい気がしますが、スッキリしません。

何処を間違えているのか教えてください。
宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： c_850871 回答日時： 2011/02/03 15:37

不定積分につきものの，積分定数分の違いです．

z/(z-1)
={(z-1)+1}/(z-1)
=1 + 1/(z-1)
として1の部分を積分定数に組み込んでしまえば同じ結果だと言えます．

決して計算を間違えているわけではありませんよ．

この回答へのお礼

ありがとうございます、納得できました！

お礼日時：2011/02/04 03:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/02/03 00:29

z/(z-1) - 1 はいくら?

この回答へのお礼

ご指摘、ありがとうございます、再計算してみます！
..

お礼日時：2011/02/04 03:50