面積の定義

Question

面積というのは日常生活ではよくわかっているつもりでいますが、積分を習い始めて面積を考えると、かえって面積というものが分からなくなってきます。体積でも同じことでしょうが、数学からきちんと面積というものを理解することは容易なことなのでしょうか。

ddtddtddt · Accepted Answer

イメージは掴んでいらっしゃるようなので、あえて言います。

測度論で議論する事は、次のような事です。例えば領域ＡとＢ（一般には任意の集合）があったとき、集合Ａの面積なり体積なり（一般には測度）をμ(Ａ)として、

μ(Ａ∪Ｂ)＝μ(Ａ)＋μ(Ｂ)－μ(Ａ∩Ｂ)　　(1)

が一般的に成り立つか？、といった類です。(1)って、普通に考えれば「当たり前」ですよね？。それを「測度の定義」から始めて、厳密に証明しようというわけです。集合Ａ，Ｂの条件が一般的すぎると、(1)が成り立たないケースもあります。

その過程で重要なのが、σ加法族と言われる集合の集まりです。σ加法族とは、可算無限個の足し算に対して、測度（面積や体積）が意味を持つような、集合（領域）を集めたものです。何故、可算無限個の足し算かと言えば、微積にあるように、積分とは、有限個の足し算の極限だからです（リーマン積分）。それは、数値計算を考えれば、すぐわかると思います。標準的な測度論は、じつはそこまでしかやっていません。
　ルベーグ積分は、リーマン積分で条件付だったσ加法族の特徴付けを、限界まで拡張しただけです。要するに、当たり前の事が成り立つ限界はどこか？、を議論してるだけです。・・・とは言っても、読んでみると難解で、自分も詳細までは無理です。

最後に、可測と可積は違います。可測集合の積分値が有限のとき、可積と言います。広義積分は、例えば普通の（可測な）関数の、無限遠までの積分値が有限か？、を問うています。有限なら可積です。

kabaokaba · Answer

＞どういうことを勉強すればわかるようになる可能性がありますか。

面積というのはすごく難しい対象です．
こういう一般には分かりきってるのに
いざ考えると難しいものはそれなりにあります
＃そもそも「自然数とは何か？」ってのが大問題なのは有名

こういう場合に数学が歩んできた道の一つは
徹底的に条件を吟味して
求める対象（とみなしてよいくらい
馴染み深い性質を満たす対象）を
再構築するのに何が必要なのかを調べるという
抽象化ですな．
群・環・体なんかに代表される代数系は
演算をもった集合の抽象化だし，
写像なんかは演算そのものの抽象化とみなせる．

ということで，面積も同様の抽象化がされていて
測度というものになってます．
測度論とルベーク積分ってのを勉強してみると
リーマン積分とは違う方向から積分や面積がみえてきます．

tanakarakusamoti · Answer

数学で取り扱う面積は，日常生活における面積と同義で，「領域の大きさ」のことです．
面積の理解というよりは，それ以前の，積分の理解や極限の理解など数学の理解がおろそかにはなっていませんか？

melgitos · Answer

面積というのはその平面図形がどの程度の領域を持つか（つまり大きさ）を数値化したものです。
図形というのは多種多様な種類がありますし、
積分というのはこうなるはずだという物なので分からなくなってしまうことはあると思います。
そうなると数学から面積を再認識するのは難しいと思います。
もういちど日常生活などから面積というものを考えてみてはいかがでしょう。

koko_u_u · Answer

> 数学からきちんと面積というものを理解することは容易なことなのでしょうか。

いいえ、容易なことではありません。

面積の定義

イメージは掴んでいらっしゃるようなので、あえて言います。

＞どういうことを勉強すればわかるようになる可能性がありますか。

数学で取り扱う面積は，日常生活における面積と同義で，「領域の大きさ」のことです．

面積というのはその平面図形がどの程度の領域を持つか（つまり大きさ）を数値化したものです。

この回答への補足

> 数学からきちんと面積というものを理解することは容易なことなのでしょうか。

この回答への補足

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　イメージは掴んでいらっしゃるようなので、あえて言います。