数列の問題の解説の途中で、よくわからない変形があったので質問させてください。
Σ_[k=1,n]{2k(k-1)+1}=2Σ_[k=1,n-1]k(k+1)+n
この変形について、理解出来ない点が2つあります。
まず1つは、なぜこのように変形できるのかがわかりません。
なぜk=1のまま、Σの上部のnが、右辺ではn-1になっているのでしょうか。
また、その変化によって、なぜk(k-1)がk(k+1)になっているのでしょうか?
この変形の仕組みがいまいち理解できません・・・。
もう1つは、この変形の意図が理解できません。
2k(k-1)+1=2k^2-2k+1なので、これをそのままΣの公式を当てはめても、普通に答えは出せます。
それなのに、なぜこのような変形をするのでしょうか?
もしよろしければ、教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんわ。
>なぜk=1のまま、Σの上部のnが、右辺ではn-1になっているのでしょうか。
>また、その変化によって、なぜk(k-1)がk(k+1)になっているのでしょうか?
式変形と考えてしまうよりも、
「どのような数に対して和をとっているか」と考えた方が理解しやすいと思います。
k(k-1)に対して、k= 1, 2, 3,・・・, nとして和をとる。
これを k= m+1と置き換えてみると(1だけスライドさせる感じで)
(m+1)mに対して、m= 0, 1, 2,・・・, n-1として和をとる。
となります。
同じ「k」で置き換えを考えてしまうと、ややこしくなってしまいますね。
あとは、m= 0のときには (m+1)m= 0となるので、和は m= 1~ n-1とすることができます。
>もう1つは、この変形の意図が理解できません。
k(k-1)の初項は 0と和に関与しない項になっているので、
それを省きたかっただけかもしれません。
No.2
- 回答日時:
Σ_[k=1,n] の k を、この Σ の「総和変数」と言いますが、
総和変数は、他の文字に入れ替えても、式の意味が変わりません。
例えば、Σ_[k=1,n]{ 2k(k-1)+1 } と Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1)+1 }
は、全く同じ式です。
このように置き換えてから、展開整理すると、
Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1)+1 }
= Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1) } + Σ_[x=1,n]{ 1 }
= 2 Σ_[x=1,n]{ x(x-1) } + n
ですが、ここで再び k = x - 1 で置き換えると、
= 2 Σ_[k=0,n-1]{ (k+1)k } + n
となります。最初の k と最後の k が、
字は同じでも異なる変数なので、ややこしいですね。
k = 0 の場合の { } 内の値を考えれば、
Σ_[k=0,n-1]{ (k+1)k } = Σ_[k=1,n-1]{ (k+1)k }
が解って、完了です。
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