No.14ベストアンサー
- 回答日時:
#10お礼のあなたの方針で行けそうですね。
もうやったかもしれないけど。
シンプルでいいと思います。
(1) 4n(n+1)=p^2(p^3+1)
で次のどちらか:
(2) n=ap^2 (aは整数)
(3) n=bp^2 (bは整数)
(1)の場合、(1)に代入してaについて解き、
a=(-1±√(p^3+2))/(2p^2)。
変形して
x=2n+1=2ap^2+1=±√(p^2+2)。
(この形に持って行くのはaについて解かなくてもできるか。)
両辺2乗して仮定の等式のx^2に代入し、矛盾を導く。
(3)も同様。
(2)(3)に場合分け出来ることの証明は大丈夫ですか?
No.19
- 回答日時:
#13です。
p=3(mod4)
p=4(mod5)だから
p=19(mod20)
p≧19
と考えてみましたが結局
#5の方の回答でよいと思います。
#5の方の考え方に基づいて質問者の方の
「
x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の2つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法
」について考えます。
xは整数で,pは素数で
x^2=p^5+p^2+1となる
↓1<2√pだから
(p^2√p)^2=p^5<x^2<p^5+2p^2√p+1=(p^2√p+1)^2
↓[p^2√p]をp^2√pの整数部分とするとpは素数でp^2√pは整数とならないから
[p^2√p]<p^2√p<x<p^2√p+1
↓
[p^2√p]<x≦[p^2√p+1]=[p^2√p]+1
↓xは整数だから
x=[p^2√p]+1
x=2n+1とすると
2n=[p^2√p]
2n<p^2√p
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
(1)n=ap^2のとき
4ap^2(ap^2+1)=p^2(p^3+1)
4a(ap^2+1)=p^3+1
4a^2p^2+4a=p^3+1
4a-1=p^2(p-4a^2)≧p^2
2n<p^2√p
2ap^2<p^2√p
2a<√p
4<pだから→2<√p
4a<2√p<(√p)^2=p
p^2≦4a-1<p
p<1
となって矛盾する
(2)n+1=bp^2のとき
4(bp^2-1)bp^2=p^2(p^3+1)
4(bp^2-1)b=p^3+1
4b^2p^2-4b=p^3+1
4b+1=p^2(4b^2-p)≧p^2
2n<p^2√p
2(bp^2-1)<p^2√p
2bp^2<(p^2√p)+2
2b<√p+(2/p^2)
9<pだから→3<√p
→(√p-3)(√p+1)=p-2√p-3>0
→2√p+3<p
4b+1<2√p+(4/p^2)+1<2√p+3<p
p^2≦4b+1<p
p<1
となって矛盾する
No.17
- 回答日時:
整数yが5の倍数でないなら、y^4≡1 (mod 5)
(フェルマーの小定理などを知ってるとなおよい)
以下特に断らない場合、5を法として考える。
pは5の倍数でない(と少し考えれば分かる)から、p^4≡1
ここからp^2,p,p^5,p^5+p^2+1を5で割った余りを場合分けして考えると
p^5+p^2+1≡1 or 2 or 3
p^5+p^2+1≡x^2≡0 or 1 or 4
以上から p^5+p^2+1≡x^2≡1
そのとき p≡4
x≡1 or x≡4
p(p^4+p)=(x-1)(x+1)
x≡1(mod p) or x≡-1(mod p)
(「abが素数pで割り切れるならaかbはpで割り切れる」を使った)
p≡4だったから
x≡0 or x≡3
これはx≡1 or x≡4と矛盾する
回答ありがとうございます
あっさりと証明できているようなので少しあっけにとられていますが
じっくりと考えたいとおもいます
5の倍数の余りで考えるのですか・・・
No.13
- 回答日時:
#11です。
#11のp≠4(mod5)は誤りでした。#11の回答を取り消します。x=0(mod4)→x^2=0(mod4)
x=1(mod4)→x^2=1(mod4)
x=2(mod4)→x^2=0(mod4)
x=3(mod4)→x^2=1(mod4)
p=1(mod4)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod4),x^2≠3(mod4)だからxは整数でない
→p=3(mod4)
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x=2(mod5)→x^2=4(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5)
x=4(mod5)→x^2=1(mod5)
だからx^2≠3(mod5),x^2≠2(mod5)
pは奇素数だから
p=0(mod5)のときp=5→x^2=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=2(mod5)のとき
x^2=2^5+2^2+1=2(mod5),x^2≠2(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
→p=4(mod5)
後は考え中です。
No.12
- 回答日時:
#10お礼へ
#10間違いだらけです…。
誤答の連続でごめんなさい。
>x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
n=a*p^2かn+1=b*p^2であるとは言えそうですね。
それぞれでa<p、b<pとできるかどうかは、私は分かりません。
No.11
- 回答日時:
p=2のとき
x^2=2^5+2^2+1=37→x=√37=6.08…
→xは整数でない
→p≠2
→p=1(mod2)は奇素数となる
→x^2=1^5+1^2+1=1(mod2)は奇数となる
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x≠2(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5),x^2≠4(mod5)→x≠3(mod5)
x≠4(mod5)
だからx^2≠3(mod5)
pは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)
p=0(mod5)のときp=5となるから
x^2=5^5+5^2+1=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
∴
xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しない
この回答への補足
追伸
あと、他にも自分には難しいところがいくつかあるのですが
12行目のpは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)がどうしてかな
と考えています
回答ありがとうございます
xを5で割った余りで場合分けして考えれば
いいのかと思いました。その方針で考えたいと思います。
8行目までは、理解できましたが、
9行目のx≠2(mod5)が、どうしてそういえるのか分かりませんでした。
教えてもらえればと思いました。
自分でも他の回答を参考にいろいろ考えたのですが、x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の2つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法を考えました。
この考え方に何かアドバイスがあれば幸いです。
No.10
- 回答日時:
#9お礼へ
場合分け(1)(2)は、自分でもおかしいと思います。
忘れてください。
m=1が成り立たなければならないことはもっと簡単に示せそうです。
k^2p^2+2kpm+m^2=p^2(p^3+1)+1
だから、左辺をpで割った商がp(p^3+1)、余りが1です。
k^2p^2+2kpmはpで割り切れます。
一方、mはpを因数として持たないので、m^2はpで割り切れません。
よって、m^2=1であり、(m≧0より)m=1。
でいい気がしますが、勘違いかもしれないので、確認してください。
m=1なら
k^2p^2+2kpm=k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
ですね。
次に、場合分け(4)(5)について。
繰り返しになりますが、右辺がkで割り切れる場合を2つに分けたのです。
(1) pがkで割り切れる
(2) p^3+1がkで割り切れる
のどちらかしかありません。
その他の場合は、この2つのどちらかに含まれていると思います。
回答ありがとうございます
回答を参考にさせてもらい、自分なりに場合分けを次の2つにできるのでないかと
思いました。
x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
回答にある場合分けと何か似ているような気もしますが・・・
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
4.6.8で割るとあまりはそれぞれ...
-
3以上9999以下の奇数aで、(a^2)...
-
交代式の性質
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
x^100を(x+1)^2で割ったときの...
-
Xの3乗+Yの3乗=Zの3乗
-
ハムサンドイッチの定理や平均...
-
数学の問題でわからないところ...
-
AとBはn次正方行列とする。 積A...
-
連立微分方程式の問題で、大学...
-
内心と外接円
-
大学受験数学で「中国剰余定理...
-
至急です! 数学で証明について...
-
オイラーの多面体定理の拡張
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
至上最難問の数学がとけた
-
【遊びのピタゴラスイッチはな...
-
大学の記述入試で外積は使えま...
-
lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
-
直角三角形じゃないのに三平方...
-
数学が大好きな国の国旗のデザイン
-
数Aの図形の性質の3の問題につ...
-
パップスギュルダンの定理について
-
複素積分の
-
定理と法則の違い
-
ファルコンの定理は解かれまし...
-
実数の整列化について
-
数A nは自然数とする。n , n+2 ...
-
【線形代数】基底、dimVの求め方
-
コーシーの積分定理 複素積分
-
完全数はどうして「完全」と名...
-
ほうべき(方巾)の定理について
-
「整数係数方程式の有理解の定...
-
長さがマイナスの答えのとき、...
-
傘を買うと雨は止む。
おすすめ情報