２００２年センター試験数学１A本試験ー数と式

２００２年センター試験数学１A本試験の第２問（２）の問題で、解説に
A+Bが（x－１）^2で割り切れるとき、
２x+a+3=2(x-1)となる、とあります。
また、A＋Bのxの係数が２だから、A+B＝２（x-1）^2としてもよい、ともあります。

なぜそういえるのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/04/24 01:31

こんにちは。

解くのは比較的簡単でしたが、
「　２x+a+3=2(x-1)となる　」
については、どこをどうやると出てくるのかは、３０分ほど悩んでみましたが、わかりませんでした。

解き方は色々ありますが、もっとも普通のやり方は、
Ａ＋Ｂ　を　（ｘ－１）^2　すなわち　ｘ^2－２ｘ＋１　で割ることです。

２ｘ^2＋（ａ＋１）ｘ＋ｂ＋１　（　＝　Ａ＋Ｂ　）
を
ｘ^2　－　２ｘ　＋　１
で割ると、

２ｘ^2＋（ａ＋１）ｘ＋ｂ＋１
　＝　２ｘ^2　－　４ｘ　＋　２　＋　４ｘ　－　２　＋　（ａ＋１）ｘ　＋　ｂ＋１
　＝　２（ｘ－１）^2　＋　４ｘ　－　２　＋　（ａ＋１）ｘ　＋　ｂ＋１
　＝　２（ｘ－１）^2　＋　（ａ＋５）ｘ　＋　ｂ－１

ここで、（ｘ－１）^2　で割り切れるということは、
あまりの　（ａ＋５）ｘ　＋　ｂ－１　が常にゼロにならなくてはいけないので、
ａ＋５　＝　０
であり
ｂ－１　＝　０
です。
つまり、
ａ　＝　－５　　　ケ＝５
ｂ　＝　１　　　　コ＝１
となります。


＞＞＞また、A＋Bのxの係数が２だから、A+B＝２（x-1）^2としてもよい、ともあります。

その理由は簡単です。
（ｘ＋１）^2　や　（ｘ－１）^2　や　（ｘ＋９９９９９）^2　や　（ｘ－１億）　などを展開すると、
ｘ^2 の係数は、無し（＝１）になります。
しかし、３（ｘ＋１）^2　や　３（ｘ－１）^2　や　３（ｘ＋９９９９９）^2　や　３（ｘ－１億）　などを展開すると、ｘ^2 の係数は、どれも３になります。
（ｘ－１）^2 で割り切れて、ｘ^2 の係数が２になる整式というのは、２（ｘ－１）^2 以外にないのです。

それを踏まえれば、上記の解き方はもっと簡単になります。
Ａ＋Ｂ　＝　２ｘ^2＋（ａ＋１）ｘ＋ｂ＋１　＝　２（ｘ－１）^2
つまり、
２ｘ^2＋（ａ＋１）ｘ＋ｂ＋１　＝　２ｘ^2　－　４ｘ　＋　２
これが常に正しくなるためには（恒等式になるためには）、
ａ＋１　＝　－４
ｂ＋１　＝　２

No.1 回答者： bgm38489 回答日時： 2011/04/24 00:26

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