高１ 因数分解

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1　を因数分解せよ。

解答の途中式をみても、ピンときません。
日本語の解説も含めて詳しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/20 22:35

与式 = (y^2 - 1)x^2 + (4y)x - (y^2 - 1)　と降冪順に整理したところで、

係数 y^2 - 1, 4y, -(y^2 - 1) からは、共通因数は括りだせないことが判る。
二次式だから、タスキガケを思いつけば完了だが、思いつかなかったらどうするか…
そういうときは、解の公式を使おう。
多項式 f(x) は、f(a) = 0 であれば x - a で割り切れる。(因数定理)
f(x) = 0 の解を見つければ、f(x) を因数分解することができるのだ。
(y^2 - 1)x^2 + (4y)x - (y^2 - 1) = 0 を x の二次方程式と見て、
解の公式で解けば、x = { -2y ±√( (2y)^2 + (y^2 - 1)^2 ) } / (y^2 - 1)
= { -2y ±(y^2 + 1) } / (y^2 - 1) = (y-1)/(y+1) または -(y+1)/(y-1) となる。
これより、与式 = (y^2 - 1){ x - (y-1)/(y+1) }{ x + (y+1)/(y-1) }
= { (y+1)x - (y-1) }{ (y-1)x + (y+1) } と判る。
この形を見れば、これ以上分解できないことも了解できよう。
余計な括弧を開いて、与式 = (xy + x - y + 1)(xy - x + y + 1)
と書けば終わり。

この回答への補足

=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

ここが、なぜこうなるのかが分かりません。
お願いします。

補足日時：2011/05/21 07:24

No.11 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/05/22 18:22

＞　=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

＞　={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}
＞　ここが、なぜこうなるのかが分かりません

「たすきがけ」そのものなのですが、おそらくたすきがけ自体慣れていないんじゃないかと思います。
一般にたすきがけは?x^2+?x+?の形の因数分解の考え方で、やり方は次のとおりです。

(1)x^2の係数と定数項をそれぞれ?×?というように掛け算の形にする。表し方が複数あるので勘で選ぶ。
（例えば「3」のような素数であっても1×3、3×1、(-1)×(-3)、(-3)×(-1)と分解の仕方はいろいろ）
(2)ABx^2+?x+CDという形なら、とりあえず(Ax+C)(Bx+D)と書いてみる。
(3)AD+BCがxの係数と一致しているか確認する。なっていれば終了。なっていなければやり直し。(1)に戻って分解の仕方を変えてみる。

要は試行錯誤です。
今回で言うといろいろ分解の仕方を模索した中で、{(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}が適合した、というただそれだけです。
実際A=(y+1)、B=(y-1)、C=-(y-1)、D=(y+1)とすれば、
AD+BC=(y+1)^2-(y-1)^2=4y
とxの係数に一致しています。

分解の仕方は慣れないとなかなか適合するものが見つからないのかもしれませんが、何問か同様の問題を練習すれば自然と勘が働いてすっきり見つけられるようになります。

No.10 回答者： alice_44 回答日時： 2011/05/22 01:14

＞　=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

＞　={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}
＞　ここが、なぜこうなるのかが分かりません。

A No.5 に、そうなる過程を書いておきましたが？

多くの学習参考書には、タスキガケによって
その変形を見つけよ…と説明してあるはずですが、
タスキガケというのは、要するに、
勘で分解を見つけて、展開して検算する
というだけの代物ですから、思考過程も何もありません。
気づく人は、気づく。気づかない人は、気づかない。
それでオシマイです。
何か凝った変形をして、A^2 - B^2 等の公式に持ち込むと、
鮮やかに解いたような印象はありますが、
気づく/気づかないの問題に終始するという意味では、
タスキガケと大差はありません。
何も思いつかないとき、何とかするにはどうするか。
そのときの武器を持っていることは大切だと思います。

No.9 回答者： Willyt 回答日時： 2011/05/21 22:06

＃８で訂正です

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1=x^2y^2+2xy +1 -(x^2ｙ＾2-２xy+y^2)=(xｙ＋1)^2-(x-y)^2

ではなく


x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1=(x^2y^2+2xy +1) -(x^2-２xy+y^2)=(xｙ＋1)^2-(x-y)^2
です(^_^;)

これなら分る筈です。つまり 4xy を二分割して　2xy　とし、これを前後のグループに振り分けただけです。

そこで

A=xy+1 B=x-y とおけば

与式＝A^2-B^2

となるのは分る筈ですよね。

No.8 回答者： Willyt 回答日時： 2011/05/21 17:45

>◇◇=A,△△=Bとして…　的な式でお願いします。

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1=x^2y^2+2xy +1 -(x^2ｙ＾2-２xy+y^2)=(xｙ＋1)^2-(x-y)^2

ここで

A=xy+1 B=x-y とおけば

与式＝A^2-B^2

となります。ここからは一番基本的な因数分解の公式ですよね。

この回答への補足

何度も何度もホント、すいません…


x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1
=(y^2-1)x^2+(4y)x-(y^2-1)
=(y-1)(y+1)x^2+4yx-(y-1)(y+1)

ここまでは出来るんです。

このあと、解説では
={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}
となっているのですが、その過程がさっぱり分からないんです。
たすき掛けにしても、どうやったら4yxが出るのか…　やっぱ違うか…　って感じです。




あと、
模範解答と別の解法になっている示して下さった、
x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1=x^2y^2+2xy +1 -(x^2ｙ＾2-２xy+y^2)
この過程も分かりません。

これの右辺を展開すると
x^2y^2+2xy +1 -(x^2ｙ＾2-２xy+y^2)
=x^2y^2+2xy+1-x^2y^2+2xy-y^2
=x^2y^2-x^2y^2+2xy+2xy-y^2+1
=4xy-y^2+1
ってなって左辺と異なる気がするのですが…

補足日時：2011/05/21 19:08

No.7 回答者： Willyt 回答日時： 2011/05/21 07:50

>=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

>ここが、なぜこうなるのかが分かりません。

A^2-B^2=(A+B)(A-B) の応用ですよ(^_^)

この回答への補足

すいません、まだよく分かりません。
パッと見て、4xyが消えてる気がするけど、どっかとくっついて因数分解されたのかな…　としか考えられません。

◇◇=A,△△=Bとして…　的な式でお願いします。

補足日時：2011/05/21 14:08

No.6 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/20 23:08

＞解答の途中式をみても、ピンときません。

あなたが見てもピンとこなかったら解答を提示しないと、あなたがどれくらい理解できていてどれくらい理解できていないかが解らないので、適切な説明ができません。
詳しい解説を望むなら、そのピンとこなかった解答を提示しましょう。

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1
=x^2y^2-x^2+4xy-y^2+1
=(y^2-1)x^2+4xy-(y^2-1)
=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

ここで、(y+1)(y+1)-(y-1)(y-1)=(y^2+2y+1)-(y^2-2y+1)=4y　なので、

(y+1)x　　-(y-1)
　　　　×
(y-1)x　　+(y+1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}
=(xy+x-y+1)(xy-x+y+1)

この回答への補足

=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

ここが、なぜこうなるのかが分かりません。
お願いします。

補足日時：2011/05/21 07:24

No.4 回答者： spitz1987 回答日時： 2011/05/20 22:21

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1

=(y^2-1)x^2+(4y)x-(y^2-1)
xの式に整理する。

=(y-1)(y+1)x^2+(4y)x-(y-1)(y+1)
　yの式を因数分解する。

={(y-1)x+(y+1)}{(y+1)x-(y-1)}
　xの係数が4yであることに着目して因数分解する。

=(xy-x+y+1)(xy+x-y+1)
　式を整理する。

この回答への補足

=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

ここが、なぜこうなるのかが分かりません。
お願いします。

補足日時：2011/05/21 07:25

No.3 回答者： Willyt 回答日時： 2011/05/20 22:12

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1=x^2y^2+2xy +1 -(x^2-２xy+y^2)=(xｙ＋1)^2-(x-y)^2

となりますね。ここから先は自力でどうぞ(^_^)

この回答への補足

=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

ここが、なぜこうなるのかが分かりません。
お願いします。

補足日時：2011/05/21 07:25

No.2 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/05/20 22:10

複数の文字が入った式の因数分解は、最初に１番次数の低い文字について降べきの順に整理するのが鉄則です。

今回はxもyも次数が最大2と同じなので好きな方について降べきの順に整理してください。

次の一手は整理してから考えますが今回は「たすき掛け」ですね。

なので、まずは「降べきの順」「たすき掛け」あたりを復習したら解けると思います。頑張ってみてください。

この回答への補足

=(y+1)(y-1)x^2+4xy-(y+1)(y-1)

={(y+1)x-(y-1)}{(y-1)x+(y+1)}

ここが、なぜこうなるのかが分かりません。
お願いします。

補足日時：2011/05/21 07:25