位相空間についてです

x^2＋y^2＝1　が　有界閉集合　になることの証明です。
詳しい解説よろしくお願いします。

No.2 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2011/06/02 09:20

No.1さんの方針でもいいですがこの場合は点列をとった方が楽かもしれませんね。

すなわち、点(x,y)に収束する点列をSからとってきて(x,y)もSに含まれることを示すという方針です。「x_j→x」⇒「(x_j)^2→x^2」が分かっていれば証明はすぐ終わるでしょう。
有界性についてはx,yどっちでもいいので大きくしていったらどうなるかを考えればよいでしょう。

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2011/06/02 05:20

2次元 Euclid 空間 R^2 での話ですね。

R^2 の部分集合

S^1 = { (x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1 }

が有界なのは明らかですよね。

あとは、R^2 ＼ S^1 を頭の中でイメージしてみてください。
R^2 ＼ S^1 が開集合（2つの開集合の和集合）であることも、明らかと思えるはずです。

もちろん、「明らか」の連発では証明になりませんので、イメージした内容を数学的に表現して証明を完成させてください。