三角関数の問題になります。かなり難しい（私には）

三角関数の問題になります。かなり難しい（私には）ですが教えてください。
大変困っています。ご教授お願いします。
三角関数の問題です。実際　使っていますのは人工衛星に関する計算です。
添付の図の通り、地球のある１点から人工衛星までの距離（d)を計算したいのです。
類似した問題が２点です。

与えられているパラメータは、
■問題１
・地球の赤道面から衛星までの距離　35786Km
・θ1＝30°（これは地球上のある緯度でのフラットラインに対してです。）
・地球の赤道での半径6378Km

■問題２
・地球の赤道面から衛星までの距離　780Km
・θ1＝70°（これは地球上のある緯度でのフラットラインに対してです。）
・地球の赤道での半径6378Km

通常θ2が分かれば私にも計算できますが、今回与えられているのはθ1です。
たぶん、これからθ2（緯度）を計算することになります。

まずは、地球が完全な円と仮定（この場合はRが6378Kmになります。）した場合は
はさほど難しくないかと思いますが、実際地球は、若干つぶれています。
この場合の離心率はee=0.083とします。（0.083＝√（1-（6356＾2/6378＾2）

以上ですが、参考までにこれに関する公式を示しておきます。

どなたか得意な方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

No.1 回答者： meer-acqua 回答日時： 2011/08/05 00:34

回答ではなくて申し訳ないのですが、多分これは物理や地学の教えて！に投稿したほうがいいのではないでしょうか…？

もしそちらにすでに出していたら余計なお世話ですよね。すみません。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/08/06 03:28

1番だけ。

説明のために、a=6378、b=6356、h=35786、α=30度、β=θ_1とおきます。

地球の中心を原点としてデカルト座標を考えます。
このとき北極の座標が(0,b)、図の赤道部分の左端が(-a,0)です。
「地球のある１点」の座標を(x,y)とおきます。

(x,y)は地球の切り口となる楕円上にあるので、(x/a)^2+(y/b)^2=1を満たします。(1式)

(x,y)でのその楕円の接線の傾きをmとすると、2x/(a^2)+2ym/(b^2)=0を満たします。(2式)

tan(β)=m=tan(β-α)を満たします。(3式)

(3式)の右辺を三角関数の加法定理でバラして、(2式)を併用してα、β、mを消して整理すると、

(√3)(a^2)(y^2)+((x+a+h)(a^2)-(b^2)x)y+(√3)(x+a+h)(b^2)x=0となります。(4式)

(1式)をyについて解いて(4式)に代入して整理すると、

(((a^2-b^2)/a)^2)x^4+2(a^2-b^2)(a+h)x^3+((a^2+3b^2)(a+h)^2-(a^2-b^2)^2)x^2+(6(a^2)(a+h)(a^2)-2(a^2^b^2)(a^2)(a+h))x+(a^4)(3(b^2)-(a+h)^2)=0となります。(5式)

数値をぶちこんで計算すると、
1929.3278x^4 + 23624320544x^3 + 2.87781929 * 10^17x^2 + 4.14786695 * 10^20x - 2.74130571 * 10^24 ≒ 0
となり、これを解くと、正負の解が一つずつ、共役複素数が1対あることがわかります。必要なのは負の解で、それはx≒-3890.81となりました。

ちなみに、y≒5036.32693、θ_2=52.3121508度、d=46329.3656となりました。

なお、(5式)を解くのにhttp://www.wolframalpha.comを使い、その他の全ての数値の計算にはGoogleを使いました。計算が間違っているかもしれませんし、計算の精度については全く気にせず処理したので、ご自分でお確かめください。