α＜x＜βで常にf(x)=-x^2+ax+b≧0

α＜x＜βにおいて常にf(x)=-x^2+ax+b≧0となるa、bの条件って求められませんよね…？

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2011/10/06 23:13

これ下に凸だと結構面倒ですが今回は

f(x)=-x^2+ax+bが上に凸なので割りと楽そうですね。

こういう問題は、グラフを描いてみるのが意外と理解が早かったりするかも知れません。
ポイントは、「自分で決めた条件をどうにかして破ろうとする」ように考えることですね。

例えば、条件が「x=0でf(x)がプラスになること」と考えたとしましょう。
そうすると、「x=0でf(x)がプラスだけどα＜x＜βでf(x)がマイナスになるようなグラフは描けないか!?」
と一生懸命考えるわけです。
この例だと、おそらく描けるはずです。なので、「x=0でf(x)がプラスになること」という条件は
根本から間違っているか、あるいは合ってるけどまだ足らないかのどちらかだとわかります。

これを繰り返しながら条件を狭めていけば、答えにたどりつけます。
それなりの想像力が必要ですけどね。
ポイントとしては、範囲の端でのf(x)がどうなっていればいいか、辺りをきっかけに考えることでしょうか。

参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
考えてみましたがわかりませんでした(>_<)

たとえばα≦x≦βで、という条件ならf(α)≧0、f(β)≧0でいいですが、α＜x＜βで、という条件ではどうすればいいのか、やはりわかりません。

お礼日時：2011/10/07 07:33

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/10/06 23:18

y=f(x)のグラフを書いてみるとよいでしょう。

y=f(x)は下に凸の放物線で、α<x<βで常にy=0つまり、x軸よりも上(x軸上も可)となる条件を考えればよいのです。

ヒントとして次の3パターンについて考えてみればよいでしょう。

(1)放物線の軸がx=αよりも左側にある場合(x=αを含む)
(2)放物線の軸がα<x<βにある場合
(３)放物線の軸がx=βよりも右側にある場合(x=βを含む)

それぞれの場合についてとにかくグラフを書いてみること。何かが見えてくると思います。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/10/07 00:08

#2のものです。

問題を見ていなかった。

これ上に凸の関数ですね。
それならもっと簡単。f(α)≧0,f(β)≧0さえ満たせばよい。
グラフを書けばすぐにわかると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
α≦x≦βならそれでいいですが、α＜x＜βではそうはいかないように思うんですが、違いますでしょうか？

お礼日時：2011/10/07 07:26

No.4 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/10/07 02:38

上に凸なので

α、βを２根として、

f(α)≧0,f(β)≧0がいえるように
a.bの条件を決めてやる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
α≦x≦βならそれでいいですが、α＜x＜βではそうはいかないように思うんですが、違いますでしょうか？

お礼日時：2011/10/07 07:26

No.5 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/10/07 09:22

あ、ごめん。

α＜x＜βなので

０＜ｆ（α）、０＜f(β）
になるようにa,ｂの条件を決めてやる。

No.6 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2011/10/07 10:09

#3さんの言う通り、「f(α)≧0 かつ f(β)≧0」 を満たす事が必要十分。

上に凸だから、「f(α)≧0 かつ f(β)≧0」であれば
「α＜x＜βで常に f(x)= -x^2+ax+b ≧ 0」を満たすことは分かる。

逆に「f(α)≧0 かつ f(β)≧0」でないとする。例えばf(α) < 0とすれば
f(x)が αで連続だから、「αより『少し』大きいxでも」f(x) < 0。
証明にはαより大きいxでf(x) < 0なるxの存在を具体的に示してもよいし、
面倒臭ければ平均値の定理を持ち出してもよい。 また、この程度の
問題なら「明らか」でもいいかもしれない。
f(β) < 0の時も同様で、βより少し小さいxでf(x) < 0なるものが
存在する。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/10/27 03:11

No.7 回答者： Kules 回答日時： 2011/10/14 22:26

A No.1のKulesです。

他の方がすでに有効な回答を書いて下さっているので、
まあ別に再登場しなくてもいいかな…と思っていましたが、
私の流儀も一応書いておきますね。

>たとえばα≦x≦βで、という条件ならf(α)≧0、f(β)≧0でいいですが、α＜x＜βで、という条件ではどうすればいいのか、やはりわかりません。

では、このように考えてみて下さい。
「f(α)≧0かつf(β)≧0を満たしている状態で、α＜x＜βにおいてf(x)=-x^2+ax+b＜0となるxがあるようなグラフが描けるか？」
これが描けないのであれば、「それが正解」か、「条件が厳しすぎる」か、のどちらかです。
これが描けるのであれば、「条件が緩い」か「条件が的外れ」か、のどちらかです。

条件が厳しいかどうかを考えるには、条件を緩めてやればいいです。例えば、f(α)≧0、f(β)≧0ではなくてf(α)≧0だけならどうか、とか。
条件が緩いなら、条件を厳しくしてやりましょう。例えば、f(α)≧0、f(β)≧0ではなくf(α)＞0、f(β)＞0とか。

このようにして、条件を緩くしたり、厳しくしたり、付け加えたり、減らしたりしながら、「反例が出来ないか」を考えることで最終的な答えにたどりつけます。
このような訓練をしていれば、初見の問題でも考え続けることができると思います。

「このような問題の時にはこう考える」と覚えていくこともできますが、数が増えると覚えきれなくなりますし、初見の問題が解けなくなりますし。

参考になれば幸いです。