L^pノルムについての収束とは

こんにちは。学部生で今フーリエ解析を勉強しています。
早速ですが、L^p空間で、ある関数列{f_n}が f∈L^pに収束していると、具体的にどんなことがいえるのでしょうか。つまり、「L^pノルムで収束➡almost everywhere で、「xに対して同じ関数値を返す」」と言っていいのでしょうか。
例えば、L^2で　{（1/√2）×(exp(inx)) }(n∈Z)はCONSですが、これらはL^2の元にL^2ノルムについて収束しているだけであって、almost everywhere のxについて同じ値を返すという言葉を見つけられなかったので・・・。そのためフーリエ級数展開自体、意味をどう感じたら良いのかが分からない状態です。
重大な勘違いを含んでる可能性があるので厳しく指摘いただけたら、と思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/12/14 22:49

p≧1、T=[0,2π]として、仮に||f||_p=0でA={x∈T;f(x)≠0},μ(A)>0とすると、

A(r)={x∈T;f(x)≧r},A=∪{A(r);r>0}として、μ(A(r))=0（∀r)とすると（可算個のrを考えて）μ(A)=0となって矛盾するので、あるr>0があってμ(A(r))>0

||f||^p=∫[x∈T](|f(x)|^p)dx≧∫[x∈A(r)](|f(x)|^p)dx≧μ(A(r))(r^p)>0となり矛盾。したがってμ(A)=0、つまりf(x)=0(a.e.x∈T)

フーリエ級数の一つの解釈として、p=2としてトーラス上2乗可積分で||f-g||=0となるfとgを同一視するとパーセバルの等式から質問文にある関数たちを一つのC.O.N.S.にもつヒルベルト空間とみなせるわけですが、ヒルベルト空間としての抽象的な一般論がそのまま使えるというに過ぎません。

抽象論だけみてすべてわかったというほど単純なことではありません。抽象化というのはある見やすい面だけ見てそれ以外の条件を無視することでもあるので、そういう抽象化をしないでフーリエ級数が各点でどのような挙動をするのかというのは一般には難しい問題です。

積分という道具を使う限りは測度0を除いて一致するという程度で特に支障はないから、応用上はそれ以上詮索しないでも済むというだけのことです。

この回答へのお礼

何回もおつきあいいただいてありがとうございました。遅くなって大変申し訳ありません。
おかげさまで、自分なりに消化できたと思います。これからも頑張って勉強しようと思います。
また機会がありましたらよろしくお願いします。

お礼日時：2011/12/26 11:11

No.3 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/12/11 23:08

L^2で収束しても、測度0の差は無視されるから各点でみるとズレがあるのは仕方ない。

それを無視したくないなら測度以外の道具を使わなきゃならない。

フーリエ級数が各点で元の関数と一致するべきと思い込んでません？
そう感じたからA.No.1のような書き方をしたわけで。

それと、一様収束の位相で考えちゃうと、連続関数である三角級数の部分和で近似できるのは連続な関数だけになってしまう。

この回答へのお礼

なるほど、回答者様の文章をよく読んでじっくり考えてみたら自分の勘違いが明らかになってきた気がします。

確認しておきたいのですが、よろしいでしょうか。
A.No2より、|f_n|のp乗積分が0に収束するのにf_n(x)が0に収束しないようなx全体の集合の測度が正であると仮定したら矛盾が生じる
➡　g∈L^2と{g_n}∈L^2をとってきて、f_n=g-g_nとおく。
このとき、f_nのL^2ノルムが０に収束するとしたら、f_n(x)=g(x)-g_n(x)はalmost everywhereで0に収束。

よってたとえば（全く別の）f∈L^2のフーリエ級数展開はalmost everywhereでfに一致。

という流れだと、自分の中でもフーリエ級数展開に明確な意味が見いだせた気がします。これまではL＾２ノルムでの収束が言えたからなんなんだって感じだったんですが。

もちろんBAはつけさせていただきますので、ご回答いただけたらと思います。

お礼日時：2011/12/12 12:19

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/12/11 00:54

> p乗可積分関数全体で、μ-a.eで同値類を考えたものを指していました。

それがわかるなら、何が分からないのかわからない（笑）。

|f_n|のp乗積分が0に収束するのにf_n(x)が0に収束しないようなx全体の集合の測度が正であると仮定したらどうなるか計算してみてください。

この回答へのお礼

つきあってくださってありがとうございます。

えーと、疑問点としてはつまり、もしf∈L^2ならば、fのフーリエ級数展開はfにL^2収束しますよね。（{（1/√2）×(exp(inx)) }(n∈Z)がL^2での完全正規直交系より）
でもL＾２ノルムで収束していたからといって、L^2の元がx a.eで”同じ値”を返すとは書かれていないので、フーリエ級数展開自体の意味が分からない状態です。fのフーリエ級数展開がfに一様ノルムについて収束していたら、同じ値を返す気はするのですが・・。
本などの雰囲気からL^2ノルムについて収束していたらa.eについて同じ値を返している、といっている気はします。

お礼日時：2011/12/11 12:10

No.1 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/12/10 22:19

前半は、非退化性のことを言いたいのでしょうか。

そもそもL^pの元は関数ではないんですが、そこがあやふやにみえます。

「例えば」以下の「これらはL^2の元にL^2ノルムについて収束している」というのが意味不明。その列は収束しませんよ。

この回答へのお礼

素早いお返事ありがとうございます。

L^pの元が関数でないということですが、p乗可積分関数全体で、μ-a.eで同値類を考えたものを指していました。（L^p空間）
書き方の流儀がおかしかったならお詫びいたします。

ご指摘の「例えば」以下は書き方がおかしかったです。この列が収束するという意味ではなく、これらから作った
フーリエ級数がL^2の元に収束するという意味です。
L^2で　{（1/√2）×(exp(inx)) }(n∈Z)はCONSなのは正しいと思うので、この意味でもおかしいでしょうか。

お礼日時：2011/12/10 23:52