数学の問題です。教えてください。

問題は
「四面体OABCがあり、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA、OA＝√３、OC＝√６、BC＝√７を満たしている。
(1)AB＝アであり、∠BAC＝イウ°であるまた三角形ABCの外接円の半径は√エオ／カである。

(2)三角形ABCの面積はキ√ク／ケであり、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH＝√コ／サである。

(3)∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD＝シ√ス／セであり、cos∠OAD＝ソ／タである。また、三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK＝チ√ツ－√テト／ナである。さらに、点Oから直線ADに垂線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL＝ニ√ヌネ－ノ√ハ／ヒである。」
です。

分かりづらいですがカタカナは答えの部分です。途中式と答えを教えて下さい。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/21 22:38

問題は

「四面体OABCがあり、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA、OA＝√３、OC＝√６、BC＝√７を満たしている。
(1)AB＝アであり、∠BAC＝イウ°であるまた三角形ABCの外接円の半径は√エオ／カである。

(2)三角形ABCの面積はキ√ク／ケであり、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH＝√コ／サである。

(3)∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD＝シ√ス／セであり、cos∠OAD＝ソ／タである。また、三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK＝チ√ツ－√テト／ナである。さらに、点Oから直線ADに垂>線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL＝ニ√ヌネ－ノ√ハ／ヒである。」
>です。

四面体OABCは、直方体を△ＡＢＣの面で切断したような形です。△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＡＣはすべて直角三角形です。底面を△ＯＢＣとして、Ｏから底面に垂直にＯＡを延ばすとし、直角三角形の面が互いに垂直で、△ＡＢＣが斜めになっているような図形になります。（できれば描いてみて下さい）

（１）OA＝√３、OC＝√６、BC＝√７だから、よって、ＯＢ＝１
△ＯＢＣで三平方の定理より、ＯＢ^2＝７－６＝１
△ＯＡＢで、ＡＧ＾２＝３＋１＝４　よって、ＡＢ＝２……ア
△ＯＡＣで、ＡＣ＝６＋３＝９　ＡＣ＝３

BC＝√７、ＡＢ＝２、ＡＣ＝３だから、余弦定理より　cos∠BAC＝1/2より、、∠BAC＝６０度……イウ

三角形ABCの外接円の半径は、正弦定理より　
ＢＣ／sin∠BAC＝√７／(√3/2)＝2√21/3＝２Ｒ　よって、Ｒ＝√21/3　……√エオ／カ

（２）
三角形ABCの面積Ｓ＝(1/2)・ＡＢ・ＡＣ・sin60度
　　　　　　　　＝(1/2)・２・３・(√3/2)
　　　　　　　　＝3√3/2　……キ√ク／ケ

>点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH＝√コ／サである。

四面体OABCの体積は、底面を△ＯＢＣ、高さをＯＡと見れば、
四面体OABCの体積＝(1/2)・ＯＢ・ＯＣ・ＯＡ・(1/3)
　　　　　　　　　＝(1/2)・１・√6・√3・(1/3)
　　　　　　　　　＝√2/２
底面を△ＡＢＣと見ると、高さＯＨだから、体積は＝3√3/2・ＯＨ・(1/3)
3√3/2・ＯＨ・(1/3)＝√2/２　として解くと、　ＯＨ＝√6/３　……√コ／サ

（３）
>∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD＝シ√ス／セであり、cos∠OAD＝ソ／タである

ＡＤ＝ｘとおく。　ＡＤが角∠BACの二等分線だから、３０度ずつに分かれる。
△ＡＢＤの面積＋△ＡＣＤの面積＝△ＡＢＣの面積だから、
(1/2)×２・ｘ・sin30度＋(1/2)・３・ｘ・sin30度＝3√3/2
これから、ＡＤ＝ｘ＝６√3／５　……シ√ス／セ

△ＡＯＤは、角ＡＯＤ＝９０度の直角三角形である。
cos∠OAD＝ＯＡ／ＡＤ＝√３／(６√3／５)＝５／６……ソ／タ

>三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK＝チ√ツ－√テト／ナである。

ＫからＡＢ、ＢＣ、ＣＡにおろした垂線の足をＥ，Ｆ，Ｇとする。
内接円の性質から、ＡＥ＝ＡＧ、ＢＥ＝ＢＦ＝ｘ，ＣＦ＝ＣＧ＝ｙが言えて、ｘ、ｙとおくと、
ＡＥ＝２－ｘ、ＡＧ＝３－ｙ

２－ｘ＝３－ｙ、ｘ＋ｙ＝√7　だから、連立方程式を解くと、ｘ＝-1+√7／２　（ｙはいらない）
ＡＥ＝２－ｘ＝(5-√7)／２

ＥＫ＝ｒ（内接円の半径）だから、公式Ｓ＝ｒｓを使う　
ｓ＝(1/2)（２＋３＋√7）＝5+√7／２
ｒ＝Ｓ／ｓ＝3√3/2／（5+√7／２）＝√3（5-√7)／６

△ＡＥＫは、直角三角形だから三平方の定理より、
ＡＫ^2＝ＡＥ^2＋ｒ^2
　　　＝（5-√7／２）^2＋（√3（5-√7)／６）^2　　
ＡＫ＝(5√3-√21)／３……チ√ツ－√テト／ナ

>点Oから直線ADに垂線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL＝ニ√ヌネ－ノ√ハ／ヒである。」

△ＡＯＤは、角ＡＯＤ＝９０度の直角三角形である。作図から、△ＡＬＯも直角三角形
（△ＡＯＤと交点Ｌを描いてみればいいです。）

△ＡＯＤと△ＡＬＯは相似です。（角Ａ共通、９０度の角もあるから、２つの角が等しい）
だから、ＡＯ：ＡＬ＝ＡＤ：ＡＯ＝６√3／５：√3＝６：５　よって、ＡＬ＝５√3／６

ＫＬ＝ＡＬ－ＡＫ
　　＝５√3／６－(5√3-√21)／３
　　＝(2√21-5√3)／６……ニ√ヌネ－ノ√ハ／ヒ

答えが違ってるとかなにかあったらお願いします。