数Cの問題です

2x^2+3y^2=1で表される曲線Cがある
(1)Cをxy平面上に図示せよ
(2)点P(x、y)がC上を動くとき、x^2-y^2+xyの最大値を求めよ


という問題なのですが、よかったらご回答お願いします

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/01/05 14:09

＃2の(2)は何をやってるんだろう。

。。。。。ｗ

2x^2+3y^2=1から媒介変数表示を使うと、x＝cosθ/√2、y＝sinθ/√3、0≦θ＜2π　とする。
x^2-y^2+xy＝倍角の公式から＝3(5＋cos2θ-√6sin2θ)≦3(5＋√7)

(別解の1)
極座標を使ってみよう。
x＝r*cosθ、y＝r*sinθ、0≦θ＜2π　とおき、条件式に代入すると　r＾2＝2/(5-cos2θ)。
x^2-y^2+xy＝r＾2*(2cos2θ＋sin2θ)/2＝(2cos2θ＋sin2θ)/(5-cos2θ)＝kとする。
分母を払って整理すると　(k+2)cos2θ＋sin2θ＝5k。これが実数解を持つから　-1≦sin(2θ＋α)≦1より、合成した　√{(k＋2)＾2＋1}sin(2θ＋α)＝5kより　｜5k｜≦√{(k＋2)＾2＋1}。
これを2乗して答えを求めると良い。

(別解の2)
y＝αxとすると、条件式から　x^2＝1/(2＋3α＾2)
x^2-y^2+xy＝x^2*(1ーα＾2＋α)＝(1ーα＾2＋α)/(2＋3α＾2)だから、微分して増減表を書いて、最大値を求める。
その計算は自分でやって。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/04 23:06

(1)

中心が原点(0,0),長軸がx軸上にあり長さ(長径)が2a=√2
短軸がy軸上にあり長さ（短径）が2b=2/√3
の標準形の楕円ですから自分で描けるでしょう。

(2)
x=cos(t)/√2,y=sin(t)/√3とおくと　
　0≦t≦2π
2x^2+3y^2={cos(t)}^2+{sin(t)}^2=1
で常に成立。
x^2-y^2+xy={cos(t)}^2-{sin(t)}^2+cos(t)sin(t)
=cos(2t)+(1/2)sin(2t)
=(√5/2)sin(2t+a)
ただし、cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
sin(2t+a)=1の時　最大値(√5/2)をとる。
この時　sin(2t+a)=1　より
2t+a=π/2,5π/2
t=(π/4)-(a/2),(5π/4)-(a/2)
x=cos(t)/√2=±(1/2){cos(a/2)+sin(a/2)}
　y=sin(t)/√3=±(1/√6){cos(a/2)-sin(a/2)}　（複号同順）
　ここで、a=arcsin(2/√5)

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/01/04 23:03

(1)

与式は、
x²/(1/√2)²+y²/(1/√3)²=1
と変形できます。よって、曲線Cは
4点(1/√2, 0), (0, 1/√3), (-1/√2, 0), (0, -1/√3)を通る楕円です。